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Vaisala-Brunt-Oszillation

Storyboard

>Modell

ID:(1525, 0)



Brunt-Väisälä-Frequenz

Video

>Top


Wenn ein Medium eine Schichtung aufweist, das heißt, es besteht aus Schichten mit unterschiedlichen Dichten, besteht die Möglichkeit, dass der Dichtunterschied instabil wird und die Schichten sich vermischen, wodurch das System homogen wird.

Solange das System stabil ist, führt jede Störung zu Schwingungen, die sich im Laufe der Zeit auflösen. Die mit diesem Verhalten verbundene Frequenz wird als Brunt-Väisälä-Frequenz bezeichnet und tritt sowohl in der Atmosphäre als auch im Ozean auf.

Das folgende Video zeigt ein System mit zwei unterschiedlichen Dichten, in dem ein Korken platziert wird und in Reaktion auf eine Störung schwingt, wobei die Ordnung zwischen den stabilen Schichten aufrechterhalten bleibt:

ID:(11754, 0)



Mögliche Temperatur

Gleichung

>Top, >Modell


Die vertikale Stabilität in der Atmosphäre hängt sowohl von Temperatur- T als auch von Druckänderungen p ab. Daher ist es hilfreich, mit einem einzigen Parameter namens Potentielle Temperatur zu arbeiten, die wie folgt definiert ist:

\theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }

p
Druck
Pa
8623
\theta
Potentielle Temperatur
K
8620
p_0
Referenzdruck
Pa
8622
T
Temperatur
K
8619
R
Universelle Gas Konstante
8.4135
J/mol K
4957
C_p
Wärmekapazität bei konstantem Druck
J/K
7937
R_0 = U /( f * R ) theta = T *( p_0 / p )^( R / c_p ) N = sqrt( g * Dtheta /( theta * Dz )) N = sqrt(- g * Drho /( rho * Dz )) lam_R = N * H / f NRHfrhoDrhopgUDzthetaDthetap_0lam_RR_0TRC_p

Hierbei steht R für die allgemeine Gaskonstante, c_p für die spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck und p_0 für einen Referenzdruck.

Dieser Parameter bietet eine kombinierte Messung von Temperatur und Druck, was es uns ermöglicht, die vertikale Stabilität auf eine vereinfachte Weise zu analysieren. Durch die Verwendung der Potentiellen Temperatur können wir bewerten, wie Temperatur- und Druckvariationen die atmosphärische Stabilität und die Bildung meteorologischer Phänomene beeinflussen.

ID:(11757, 0)



Vertikale Stabilität in der Atmosphäre

Gleichung

>Top, >Modell


In der Luft können Variationen in der Temperatur (T) und im Druck (p) dazu führen, dass die Luftmasse instabil wird. Wenn wir die potentielle Temperatur durch die folgende Gleichung einführen:

\theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }



wobei R die universelle Gaskonstante, c_p die spezifische Wärmekapazität der Luft und p_0 der Referenzdruck (1000 mb) ist.

Eine strukturierte Atmosphäre, in der die Variation der potentiellen Temperatur (\Delta\theta/\theta) mit der Höhe (\Delta z) immer positiv ist, ist stabil und schwingt mit einer Frequenz, die durch folgende Formel gegeben ist:

N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}

N
Brunt-Väisälä-Frequenz
Hz
8626
g
Gravitationsbeschleunigung
9.8
m/s^2
5310
\Delta z
Höhenvariation
m
8625
\theta
Potentielle Temperatur
K
8620
\Delta\theta
Potentielle Temperaturschwankungen
K
8621
R_0 = U /( f * R ) theta = T *( p_0 / p )^( R / c_p ) N = sqrt( g * Dtheta /( theta * Dz )) N = sqrt(- g * Drho /( rho * Dz )) lam_R = N * H / f NRHfrhoDrhopgUDzthetaDthetap_0lam_RR_0TRC_p

wobei g die Erdbeschleunigung ist.

Wenn die Variation der potentiellen Temperatur mit der Höhe negativ ist (\Delta\theta/\Delta z), hat die Wurzel keine reale Lösung, was bedeutet, dass keine stabile Lösung existiert und die Schichten anfangen werden, sich zu verschieben.

ID:(11758, 0)



Vertikale Stabilität im Ozean

Gleichung

>Top, >Modell


Im Wasser können Variationen der Dichte oder Salinität \Delta\rho dazu führen, dass die Wassersäule instabil wird. Wenn das System stabil ist, schwingt es mit einer Frequenz, die als Brunt-Väisälä-Frequenz N bekannt ist und wie folgt berechnet wird:

N = \sqrt{-\displaystyle\frac{ g }{ \rho }\displaystyle\frac{ \Delta\rho }{ \Delta z }}

N
Brunt-Väisälä-Frequenz
Hz
8626
\rho
Dichte
kg/m^3
5342
\Delta\rho
Dichteschwankung
kg/m^3
8624
g
Gravitationsbeschleunigung
9.8
m/s^2
5310
\Delta z
Höhenvariation
m
8625
R_0 = U /( f * R ) theta = T *( p_0 / p )^( R / c_p ) N = sqrt( g * Dtheta /( theta * Dz )) N = sqrt(- g * Drho /( rho * Dz )) lam_R = N * H / f NRHfrhoDrhopgUDzthetaDthetap_0lam_RR_0TRC_p

Dabei ist g die Erdbeschleunigung, \rho die Dichte und \Delta z die Variation in der Tiefe.

Wenn das Argument unter der Wurzel an irgendeinem Punkt negativ wird, wird das System instabil. Daher können wir schlussfolgern, dass das Wasser instabil wird, sobald die Dichteveränderung positiv wird, da der Ausdruck ein negatives Vorzeichen enthält. Das bedeutet, dass es instabil wird, wenn es eine höhere Dichte über einer niedrigeren Dichte gibt, was darauf hinweist, dass das Gewicht dazu führt, dass die Säule destabilisiert wird.

ID:(11759, 0)



Horizontale Stabilität: Rossby-Zahl

Gleichung

>Top, >Modell


Um die Stärke der Corioliskraft mit der Trägheitskraft zu vergleichen, können wir ihr Verhältnis als dimensionslose charakteristische Zahl, bekannt als die Rossby-Zahl, definieren. Da beide Kräfte von Masse und Geschwindigkeit U abhängen, vereinfacht sich die resultierende Zahl zu:

R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }

R
Charakteristische Größe
m
8618
f
Coriolis-Faktor
rad/s
8600
U
Horizontale Geschwindigkeit
m/s
8616
R_0
Rossbys Nummer
-
8615
R_0 = U /( f * R ) theta = T *( p_0 / p )^( R / c_p ) N = sqrt( g * Dtheta /( theta * Dz )) N = sqrt(- g * Drho /( rho * Dz )) lam_R = N * H / f NRHfrhoDrhopgUDzthetaDthetap_0lam_RR_0TRC_p

Die Energie, die mit der Corioliskraft verbunden ist, kann geschätzt werden, indem man die Corioliskraft und eine charakteristische Länge L berücksichtigt. Die Corioliskraft ist das Produkt aus Masse m, dem Coriolis-Faktor f und der Geschwindigkeit U. Andererseits ist die mit der Trägheitskraft verbundene Energie einfach die kinetische Energie, proportional zu mU^2.

Basierend darauf wird die Rossby-Zahl definiert als:

R_0 = \displaystyle\frac{m U^2}{ m f U L}



Die Rossby-Zahl repräsentiert somit das Verhältnis zwischen der kinetischen Energie der Flüssigkeit und der Wirkung der Corioliskraft.

R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }

die vom Coriolis-Faktor f und einer charakteristischen Länge L abhängt.

Durch Betrachten dieser Beziehung können wir sehen, dass die Rossby-Zahl das Verhältnis zwischen der charakteristischen Geschwindigkeit der Flüssigkeit und der Wirkung der Corioliskraft darstellt. Diese Zahl gibt an, ob das System von Trägheit oder der Corioliskraft dominiert wird.

ID:(11753, 0)



Vertikale Stabilität: kritische Größe in Luft

Gleichung

>Top, >Modell


In dem Grenzfall, in dem die Corioliskraft in derselben Größenordnung wie die Trägheitskraft ist, ist die Rossby-Zahl in der Größenordnung der Einheit. Dies bedeutet, dass die charakteristische Länge L in der Größenordnung der Geschwindigkeit U geteilt durch den Coriolis-Faktor f liegt. Andererseits, wenn wir die Geschwindigkeit mit der Brunt-Väisälä-Frequenz N und der Höhe H modellieren, gilt:

\lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }

N
Brunt-Väisälä-Frequenz
Hz
8626
H
Charakteristische Höhe
m
8627
f
Coriolis-Faktor
rad/s
8600
\lambda_R
Rossby Radio
m
8628
R_0 = U /( f * R ) theta = T *( p_0 / p )^( R / c_p ) N = sqrt( g * Dtheta /( theta * Dz )) N = sqrt(- g * Drho /( rho * Dz )) lam_R = N * H / f NRHfrhoDrhopgUDzthetaDthetap_0lam_RR_0TRC_p

Für den Fall, dass die Rossby-Zahl

R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }



mit U als Geschwindigkeit, f als Coriolis-Faktor und L als charakteristische Länge, die in der Größenordnung der Einheit liegt, haben wir, dass die charakteristische Länge ungefähr gegeben ist durch:

L \sim \displaystyle\frac{U}{f}



Die Geschwindigkeit U kann mithilfe der Brunt-Väisälä-Frequenz

N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}



modelliert werden, wobei g die Erdbeschleunigung, \Delta\theta/\theta die Variation der potenziellen Temperatur und \Delta z die Variation der Höhe darstellt. In diesem Fall lässt sich die Geschwindigkeit wie folgt ausdrücken:

U\sim H N



wobei H die Höhe ist. Somit ergibt sich die charakteristische Größe als:

\lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }

ID:(11760, 0)