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ID:(1525, 0)

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Se um meio apresenta estratificação, ou seja, é composto por camadas de diferentes densidades, existe a possibilidade de que a diferença de densidade se torne instável e as camadas se misturem, tornando o sistema homogêneo.

Enquanto o sistema permanecer estável, qualquer perturbação causará oscilações que se dissiparão ao longo do tempo. A frequência associada a esse comportamento é conhecida como frequência de Brunt-Väisälä, que ocorre tanto na atmosfera quanto no oceano.

O seguinte vídeo mostra um sistema com duas densidades diferentes, onde uma rolha é colocada e oscila em resposta a uma perturbação, mantendo a ordem entre as camadas estáveis:

ID:(11754, 0)

Equação

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A estabilidade vertical na atmosfera depende tanto das variações de temperatura $T$ quanto de pressão $p$. Portanto, para modelar a instabilidade, é útil trabalhar com um parâmetro único chamado temperatura potencial, definida como:

$\theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }$

Condições

Variáveis

$C_p$

Capacidade térmica a pressão constante

$J/K$

7937

$R$

Constante de gás universal

8.4135

$J/mol K$

4957

$p$

Pressão

$Pa$

8623

$T$

Temperatura

$K$

8619

Relação

onde $R$ é a constante universal dos gases, $c_p$ é o calor específico do gás a pressão constante e $p_0$ é uma pressão de referência.

Esse parâmetro fornece uma medida combinada de temperatura e pressão, permitindo analisar a estabilidade vertical de maneira mais simplificada. Ao utilizar a temperatura potencial, podemos avaliar como as variações de temperatura e pressão afetam a estabilidade atmosférica e a formação de fenômenos meteorológicos.

ID:(11757, 0)

Equação

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No ar, variações de temperatura ($T$) e pressão ($p$) podem causar instabilidade na coluna de ar. Se introduzirmos a temperatura potencial usando a equação:

onde $R$ é a constante universal dos gases, $c_p$ é o calor específico do ar e $p_0$ é a pressão de referência (1000 mb).

Uma atmosfera estruturada em que a variação da temperatura potencial ($\Delta\theta/\theta$) com a altura ($\Delta z$) é sempre positiva é estável e oscila com a frequência dada por:

$N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

Relação

onde $g$ é a aceleração devido à gravidade.

Se a variação da temperatura potencial com a altura é negativa ($\Delta\theta/\Delta z$), a raiz quadrada não possui uma solução real, o que indica que não há uma solução estável e as camadas começarão a se deslocar.

ID:(11758, 0)

Equação

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Na água, variações na densidade ou salinidade $\Delta\rho$ podem tornar a coluna de água instável. Quando o sistema é estável, ele oscila em uma frequência conhecida como frequência de Brunt-Väisälä $N$, que é calculada da seguinte forma:

$N = \sqrt{-\displaystyle\frac{ g }{ \rho }\displaystyle\frac{ \Delta\rho }{ \Delta z }}$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

Relação

onde $g$ é a aceleração gravitacional, $\rho$ é a densidade e $\Delta z$ é a variação de profundidade.

Se em algum momento o argumento dentro da raiz quadrada se tornar negativo, o sistema se torna instável. Portanto, podemos concluir que a água se torna instável sempre que a variação da densidade se torna positiva, pois a expressão contém um sinal negativo. Isso significa que a água se torna instável quando há uma densidade maior acima de uma densidade menor, indicando que o peso faz com que a coluna se desestabilize.

ID:(11759, 0)

Equação

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Para comparar a força de Coriolis com a força inercial, podemos definir sua relação como um número adimensional característico conhecido como número de Rossby. Uma vez que ambas as forças dependem da massa e da velocidade $U$, o número resultante simplifica-se para:

$R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$

Condições

Variáveis

$f$

Fator de Coriolis

$rad/s$

8600

Relação

Desenvolvimento

A energia associada à força de Coriolis pode ser estimada considerando a força de Coriolis e um comprimento característico $L$. A força de Coriolis é o produto da massa $m$, o fator de Coriolis $f$ e a velocidade $U$. Por outro lado, a energia associada à força inercial é simplesmente a en1ergia cinética proporcional a $mU^2$.

Com base nisso, o número de Rossby é definido como:

$R_0 = \displaystyle\frac{m U^2}{ m f U L}$

Assim, o número de Rossby representa a relação entre a energia cinética do fluido e o efeito da força de Coriolis.

$R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$

que depende do fator de Coriolis $f$ e de um comprimento característico $L$.

Ao examinar essa relação, podemos ver que o número de Rossby representa a proporção entre a velocidade característica do fluido e o efeito da força de Coriolis. Esse número nos indica se o sistema é dominado pela inércia ou pela força de Coriolis.

ID:(11753, 0)

Equação

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No caso limite em que a força de Coriolis é da mesma ordem de grandeza que a força inercial, o número de Rossby é da ordem da unidade. Isso implica que a extensão característica L é da ordem da velocidade U dividida pelo fator de Coriolis f. Por outro lado, se modelarmos a velocidade utilizando a frequência de Brunt-Väisälä N e a altura H, temos que:

$\lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$

Condições

Variáveis

$f$

Fator de Coriolis

$rad/s$

8600

Relação

Desenvolvimento

No caso em que o número de Rossby

$R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$

com $U$ representando a velocidade, $f$ como o fator de Coriolis e $L$ como uma extensão característica que está na ordem da unidade, podemos determinar que a extensão característica é aproximadamente dada por:

$L \sim \displaystyle\frac{U}{f}$

A velocidade $U$ pode ser modelada utilizando a frequência de Brunt-Väisälä

$N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$

onde $g$ é a aceleração gravitacional, $\Delta\theta/\theta$ é a variação da temperatura potencial e $\Delta z$ é a variação da altura. Nesse caso, a velocidade pode ser expressa como:

$U\sim H N$

onde $H$ é a altura. Com base nisso, podemos deduzir que a extensão característica é:

$\lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$

ID:(11760, 0)