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ID:(1525, 0)

Video

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Si un medio presenta una estratificación, es decir, está compuesto por capas de diferentes densidades, existe la posibilidad de que la diferencia de densidad sea inestable y las capas se mezclen, generando un sistema homogéneo.

Mientras el sistema sea estable, cualquier perturbación provocará una oscilación que, con el tiempo, se disipará. La frecuencia asociada a este comportamiento se denomina frecuencia de Brunt-Väisälä, y se presenta tanto en la atmósfera como en el océano.

En el siguiente video se muestra un sistema con dos densidades diferentes, donde se coloca un corcho que oscila ante una perturbación, manteniendo el orden entre las capas estables:

ID:(11754, 0)

Ecuación

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La estabilidad vertical en la atmósfera depende tanto de las variaciones de temperatura $T$ como de la presión $p$. Por lo tanto, para modelar la inestabilidad, es útil trabajar con un parámetro único llamado temperatura potencial, definida como:

$\theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }$

Condiciones

Variables

$C_p$

Capacidad calórica a presión constante

$J/K$

7937

$R$

Constante universal de los gases

8.4135

$J/mol K$

4957

$p$

Presión

$Pa$

8623

$p_0$

Presión de referencia

$Pa$

8622

$T$

Temperatura

$K$

8619

$\theta$

Temperatura potencial

$K$

8620

Relación

donde $R$ es la constante universal de los gases, $c_p$ es el calor específico del gas a presión constante y $p_0$ es una presión de referencia.

Este parámetro proporciona una medida combinada de la temperatura y la presión, lo que nos permite analizar la estabilidad vertical de una manera más simplificada. Al utilizar la temperatura potencial, podemos evaluar cómo las variaciones en temperatura y presión afectan la estabilidad atmosférica y la formación de fenómenos meteorológicos.

ID:(11757, 0)

Ecuación

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En el aire, las variaciones de temperatura ($T$) y presión ($p$) pueden llevar a la inestabilidad de la columna de aire. Si introducimos la temperatura potencial mediante la ecuación:

donde $R$ es la constante universal de los gases, $c_p$ es el calor específico del aire y $p_0$ es la presión de referencia (1000 mb).

Una atmósfera estructurada en la que la variación de la temperatura potencial ($\Delta\theta/\theta$) con la altura ($\Delta z$) es siempre positiva es estable y oscilará con la frecuencia dada por:

$N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$N$

Frecuencia de Brunt-Väisälä

$Hz$

8626

$\theta$

Temperatura potencial

$K$

8620

$\Delta z$

Variación de la altura

$m$

8625

$\Delta\theta$

Variación de temperatura potencial

$K$

8621

Relación

donde $g$ es la aceleración gravitacional.

Si la variación de la temperatura potencial con la altura es negativa ($\Delta\theta/\Delta z$), la raíz cuadrada no tiene una solución real, lo que implica que no hay una solución estable y las capas comenzarán a desplazarse.

ID:(11758, 0)

Ecuación

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En el agua, las variaciones de densidad o salinidad $\Delta\rho$ pueden hacer que la columna de agua sea inestable. Cuando el sistema es estable, oscila a una frecuencia conocida como frecuencia de Brunt-Väisälä $N$, que se calcula como:

$N = \sqrt{-\displaystyle\frac{ g }{ \rho }\displaystyle\frac{ \Delta\rho }{ \Delta z }}$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

5342

$N$

Frecuencia de Brunt-Väisälä

$Hz$

8626

$\Delta z$

Variación de la altura

$m$

8625

$\Delta\rho$

Variación de la densidad

$kg/m^3$

8624

Relación

donde $g$ es la aceleración gravitacional, $\rho$ es la densidad y $\Delta z$ es la variación de la profundidad.

Si en algún momento el argumento de la raíz cuadrada se vuelve negativo, el sistema se vuelve inestable. Por lo tanto, podemos concluir que el agua se vuelve inestable siempre que la variación de la densidad sea positiva, ya que la expresión contiene un signo negativo. Esto significa que el agua se vuelve inestable cuando hay una densidad mayor por encima de una densidad menor, es decir, el peso hace que la columna se desestabilice.

ID:(11759, 0)

Ecuación

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Para comparar la fuerza de Coriolis con la fuerza inercial, podemos definir su relación como un número adimensional característico conocido como el número de Rossby. Dado que ambas fuerzas dependen de la masa y la velocidad $U$, el número resultante se simplifica a:

$R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$

Condiciones

Variables

$f$

Factor de Coriolis

$rad/s$

8600

$R_0$

Número de Rossby

$-$

8615

$R$

Tamaño característico

$m$

8618

$U$

Velocidad horizontal

$m/s$

8616

Relación

Desarrollo

La energía asociada a la fuerza de Coriolis se puede estimar considerando la fuerza de Coriolis y una longitud característica $L$. La fuerza de Coriolis es el producto de la masa $m$, el factor de Coriolis $f$ y la velocidad $U$. Por otro lado, la energía asociada a la fuerza inercial es simplemente la energía cinética proporcional a $mU^2$.

En base a esto, el número de Rossby se define como:

$R_0 = \displaystyle\frac{m U^2}{ m f U L}$

Así, el número de Rossby representa la relación entre la energía cinética del fluido y el efecto de la fuerza de Coriolis.

$R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$

que depende de del factor de Coriolis $f$ y un largo característico $L$.

Al observar esta relación, podemos ver que el número de Rossby representa la proporción entre la velocidad característica del fluido y el efecto de Coriolis. Este número nos indica si el sistema está dominado por la inercia o por la fuerza de Coriolis.

ID:(11753, 0)

Ecuación

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En el caso límite en el que la fuerza de Coriolis es del mismo orden que la fuerza inercial, el número de Rossby es del orden de la unidad. Esto implica que la longitud característica L es del orden de la velocidad U dividida por el factor de Coriolis f. Por otro lado, si modelamos la velocidad utilizando la frecuencia de Brunt-Väisälä N y la altura H, se tiene que:

$\lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$

Condiciones

Variables

$H$

Altura característica

$m$

8627

$f$

Factor de Coriolis

$rad/s$

8600

$N$

Frecuencia de Brunt-Väisälä

$Hz$

8626

$\lambda_R$

Radio de Rossby

$m$

8628

Relación

Desarrollo

Para el caso en el que el número de Rossby

$R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$

con $U$ representando la velocidad, $f$ el factor de Coriolis y $L$ una longitud característica, que es del orden de la unidad, podemos determinar que la longitud característica es aproximadamente igual a

$L \sim \displaystyle\frac{U}{f}$

La velocidad $U$ se puede modelar utilizando la frecuencia de Brunt-Väisälä

$N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$

donde $g$ es la aceleración gravitacional, $\Delta\theta/\theta$ es la variación de la temperatura potencial y $\Delta z$ es la variación de la altura. En este caso, la velocidad se puede expresar como:

$U\sim H N$

donde $H$ es la altura. A partir de esto, podemos deducir que la longitud característica es:

$\lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$

ID:(11760, 0)