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Solución de la ecuación de balance

Storyboard

Las ecuaciones para la temperatura de la superficie de la tierra, parte de abajo y parte superior de la atmósfera pueden ser resueltas mediante técnicas de perturbación. Esto es se suponen pequeñas variaciones de la intensidad solar, albedos y factores de cobertura y se estima como estos afectan la variación de dichas temperaturas.

>Modelo

ID:(575, 0)



Nueva temperatura de la atmósfera inferior

Ecuación

>Top, >Modelo


La nueva temperatura T_{bt} se calcula sumando la temperatura inicial T_b con la variación \delta T_b:

T_{bt} = T_b + \delta T_b

T_{bt}
Nueva temperatura atmosférica inferior
K
7611
T_b
Temperatura de la atmosférica inferior
K
7446
\delta T_b
Variación de la temperatura atmosférica inferior
K
7444
dT_e = 0.240dI_s - 97.978dg_v +123.671dg_i - 84.112da_e - 22.827da_adT_b = 0.193dI_s - 66.120dg_v + 136.209dg_i - 64.106da_e - 25.142da_adT_t = 0.172dI_s - 23.693dg_v + 99.662dg_i-46.905da_e - 40.745da_a I_st = I_s + dI_s T_et = T_e + dT_e T_bt = T_b + dT_b T_tt = T_t + dT_t I_sI_stT_btT_ttT_etT_bT_eT_tdgamma_idgamma_vdI_sdT_bdT_tdT_eda_ada_e

ID:(7606, 0)



Nueva temperatura de la atmósfera superior

Ecuación

>Top, >Modelo


La nueva temperatura T_{tt} se calcula sumando la temperatura inicial T_t con la variación \delta T_t:

T_{tt} = T_t + \delta T_t

T_{tt}
Nueva temperatura atmosférica superior
K
7610
T_t
Temperatura en la parte superior de la atmosférica
K
7447
\delta T_t
Variación de la temperatura atmosférica superior
K
7445
dT_e = 0.240dI_s - 97.978dg_v +123.671dg_i - 84.112da_e - 22.827da_adT_b = 0.193dI_s - 66.120dg_v + 136.209dg_i - 64.106da_e - 25.142da_adT_t = 0.172dI_s - 23.693dg_v + 99.662dg_i-46.905da_e - 40.745da_a I_st = I_s + dI_s T_et = T_e + dT_e T_bt = T_b + dT_b T_tt = T_t + dT_t I_sI_stT_btT_ttT_etT_bT_eT_tdgamma_idgamma_vdI_sdT_bdT_tdT_eda_ada_e

ID:(7607, 0)



Nueva temperatura de la tierra

Ecuación

>Top, >Modelo


La nueva temperatura T_{et} se calcula sumando la temperatura inicial T_e con la variación \delta T_e:

T_{et} = T_e + \delta T_e

T_{et}
Nueva temperatura superficie terrestre
K
7609
T_e
Temperatura de la superficie del planeta
K
7448
\delta T_e
Variación de la temperatura superficie terrestre
K
7443
dT_e = 0.240dI_s - 97.978dg_v +123.671dg_i - 84.112da_e - 22.827da_adT_b = 0.193dI_s - 66.120dg_v + 136.209dg_i - 64.106da_e - 25.142da_adT_t = 0.172dI_s - 23.693dg_v + 99.662dg_i-46.905da_e - 40.745da_a I_st = I_s + dI_s T_et = T_e + dT_e T_bt = T_b + dT_b T_tt = T_t + dT_t I_sI_stT_btT_ttT_etT_bT_eT_tdgamma_idgamma_vdI_sdT_bdT_tdT_eda_ada_e

ID:(7605, 0)



Fundamentos del modelo

Descripción

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Dado que los parámetros del modelo varían poco alrededor de sus valores medios, es posible realizar un desarrollo de Taylor alrededor de dichos valores medios. De esta manera, se obtienen ecuaciones lineales que pueden ser resueltas de forma exacta.

ID:(84, 0)



Nueva intensidad

Ecuación

>Top, >Modelo


La nueva intensidad I_{st} se calcula sumando la intensidad inicial I_s con la variación \delta I_s:

I_{st} = I_s + \delta I_s

I_s
Intensidad de radiación solar
W/m^2
7449
I_{st}
Nueva intensidad de radiación solar
W/m^2
7608
\delta I_s
Variación de la intensidad de radiación solar
W/m^2
7450
dT_e = 0.240dI_s - 97.978dg_v +123.671dg_i - 84.112da_e - 22.827da_adT_b = 0.193dI_s - 66.120dg_v + 136.209dg_i - 64.106da_e - 25.142da_adT_t = 0.172dI_s - 23.693dg_v + 99.662dg_i-46.905da_e - 40.745da_a I_st = I_s + dI_s T_et = T_e + dT_e T_bt = T_b + dT_b T_tt = T_t + dT_t I_sI_stT_btT_ttT_etT_bT_eT_tdgamma_idgamma_vdI_sdT_bdT_tdT_eda_ada_e

ID:(7604, 0)



Modelo básico de flujo radiativo

Imagen

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El siguiente diagrama ilustra los flujos radiativos principales (visible e infrarrojo) en un modelo simplificado de la Tierra:

Este diagrama representa de manera simplificada la interacción de la radiación en la Tierra. La radiación visible del sol alcanza la superficie terrestre, donde puede ser reflejada hacia el espacio exterior, absorbida por la superficie terrestre y convertida en radiación infrarroja, o absorbida por la atmósfera. A su vez, la Tierra emite radiación infrarroja hacia el espacio.

Estos flujos radiativos son fundamentales para comprender el equilibrio energético de nuestro planeta y los procesos que regulan el clima.

ID:(7331, 0)



Suposición evolución de la sociedad

Descripción

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Para simular el desarrollo futuro del clima, se asumieron cuatro posibles escenarios:

- A1: Crecimiento económico rápido, el consumo de energía se triplica para el año 2100. Aumento de la población hasta 9 mil millones en 2050 y posterior disminución lenta.

- A2: Crecimiento económico moderado, el consumo de energía aumenta gradualmente pero se triplica para el año 2100. Aumento continuo de la población hasta 15 mil millones en 2100.

- B1: Crecimiento económico rápido, el consumo de energía disminuye para el año 2100. Aumento de la población hasta 9 mil millones en 2050 y posterior disminución lenta.

- B2: Crecimiento económico más lento, el consumo de energía aumenta significativamente pero se estabiliza para el año 2100. Aumento lento de la población hasta 10 mil millones en 2100.

En cada uno de estos escenarios se estima:

- El consumo de energía y la forma en que se genera.

- La producción y el tipo de alimentos consumidos.

Además, se estima la generación de los gases correspondientes.

ID:(7324, 0)



Ecuaciones de equilibrio

Descripción

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En caso de equilibrio, se cumplen las siguientes tres ecuaciones de equilibrio radiativo:

(1 - a_a)(1 - \gamma_{\nu})I_s - \kappa (T_e - T_b) - \sigma\epsilon_eT_e^4 + \sigma\epsilon_b T_b^4 = 0



\kappa(T_e - T_b) + \gamma_i\sigma\epsilon_e T_e^4 - 2\sigma\epsilon_bT_b^4 = 0



(1 - a_a)\gamma_{\nu} + \sigma\epsilon_b T_b^4 - 2\sigma\epsilon_t T_t^4 = 0

donde T_e es la temperatura de la Tierra, T_b es la temperatura en la parte inferior de la atmósfera y T_t es la temperatura en la parte superior. Además, se tiene que la radiación solar promedio es I_s, los albedos de la atmósfera y la Tierra son a_a y a_e respectivamente, $\gamma_{

u} y \gamma_i son los factores de cobertura en el rango visible e infrarrojo, \epsilon_e y \epsilon_a son las emisividades de la Tierra y la atmósfera, y \sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann.

ID:(85, 0)



Ecuaciones aproximadas

Descripción

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Empleando las aproximaciones, se obtiene para la ecuación que en una aproximación lineal es:

-\kappa(\delta T_e-\delta T_b)-4\sigma\epsilon_e T_e^3\delta T_e+4\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b-\delta a_e(1-\gamma_{\nu})I_s-(1-a_e)\delta\gamma_{\nu}I_s=0



En forma análoga se obtiene para la segunda ecuación la expresión:

\kappa(\delta T_e-\delta T_b)+\sigma\epsilon_e T_e^4\delta\gamma_i+4\gamma_i\sigma\epsilon_e T_e^3\delta T_e+4\sigma\epsilon_t T_t^3\delta T_t-8\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b=0



y para la tercera:

-2\sigma \epsilon_t T_t^3\delta T_t+\sigma\epsilon_b T_b^3\delta T_b-\gamma_{\nu}I_s\delta a_a+(1-a_a) I_s\delta\gamma_i=0

Las tres ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales para calcular las variaciones de las temperaturas \delta T_e, \delta T_b y \delta T_t en función de las variaciones de los albedos \delta a_e y \delta a_a y de los factores de cobertura $\delta \gamma_{

u} y \delta \gamma_i$.

ID:(87, 0)



Simulador del modelo

Descripción

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Las ecuaciones de balance radiativo nos permiten calcular las temperaturas en la superficie de la Tierra T_e, en la parte inferior de la atmósfera T_b y en la parte superior T_t. Estas ecuaciones se representan de la siguiente manera:

Ecuación 1: El cambio en la temperatura en la superficie de la Tierra se calcula mediante la ecuación

M_eC_e\displaystyle\frac{dT_e}{dt}=(1-a_e)(1-\gamma_v)I_s-\kappa(T_e-T_b)-\sigma\epsilon T_e^4+\sigma\epsilon T_b^4



donde M_e es la masa de la Tierra, C_e es la capacidad calorífica de la Tierra, a_e es el albedo de la Tierra, \gamma_v es la fracción de radiación visible absorbida por la atmósfera, I_s es la radiación solar incidente, \kappa es la conductividad térmica, \sigma es la constante de Stefan-Boltzmann y \epsilon es la emisividad de la Tierra.

Ecuación 2: El cambio en la temperatura en la parte inferior de la atmósfera se calcula mediante la ecuación

M_bC_b\displaystyle\frac{dT_b}{dt}=\kappa(T_e-T_b)+\gamma_i\sigma\epsilon T_e^4-2\sigma\epsilon T_b^4+\sigma\epsilon T_t^4=0



donde M_b es la masa de la atmósfera, C_b es la capacidad calorífica de la atmósfera y \gamma_i es la fracción de radiación infrarroja absorbida por la atmósfera.

Ecuación 3: El cambio en la temperatura en la parte superior de la atmósfera se calcula mediante la ecuación

M_tC_t\displaystyle\frac{dT_t}{dt}=(1-a_a)\gamma_vI_s+\sigma\epsilon T_b^4-2\sigma\epsilon T_t^4=0

donde M_t es la masa de la parte superior de la atmósfera y C_t es la capacidad calorífica de la parte superior de la atmósfera.

Estas ecuaciones representan el equilibrio entre la radiación solar incidente, la radiación emitida por la Tierra y la radiación transferida entre las diferentes capas de la Tierra y la atmósfera. Al resolver estas ecuaciones, podemos obtener las temperaturas en cada una de estas capas.

ID:(6867, 0)



Solución numérica

Descripción

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El sistema de ecuaciones puede resolverse de forma analítica. Si evaluamos las expresiones para los parámetros de las condiciones actuales de la Tierra (a_e = 0.152, a_a = 0.535, \gamma_{ u} = 0.421, \gamma_i=0.897, \kappa = 2.226 , \text{W/m}^2 \text{K}^{-1}, \epsilon_e = \epsilon_b = \epsilon_t = 1, I_s = 342 , \text{W/m}^2, T_e = 14.8^\circ \text{C}, T_b = 1.79^\circ \text{C} y T_t = -30.98^\circ \text{C}), se obtendría:

\delta T_e = 0.240\delta I_s - 97.978\delta\gamma_v+123.671\delta \gamma_i - 84.112\delta a_e - 22.827\delta a_a



\delta T_b = 0.193\delta I_s - 66.120\delta \gamma_v + 136.209\delta \gamma_i - 64.106\delta a_e - 25.142\delta a_a



\delta T_t = 0.172\delta I_s - 23.693\delta \gamma_v + 99.662\delta \gamma_i-46.905\delta a_e - 40.745\delta a_a

ID:(7319, 0)



Solución numérica, temperatura terrestre

Ecuación

>Top, >Modelo


La temperatura terrestre se puede estimar mediante:

\delta T_e = 0.240\delta I_s - 97.978\delta\gamma_v+123.671\delta \gamma_i - 84.112\delta a_e - 22.827\delta a_a

donde se asumieron los valores

Parámetros | Valor

-------------------|:---------:

a_e | 0.152

a_a | 0.535

\gamma_v | 0.421

\gamma_i | 0.897

\kappa | 2.226W/m^2K

\epsilon_e | 1

\epsilon_b | 1

\epsilon_t | 1

I_s | 342W/m^2

T_e | 14.8^{\circ}C

T_b | 1.79^{\circ}C

T_t | -30.98^{\circ}C

ID:(7440, 0)



Solución numérica, temperatura atmosférica (inferior)

Ecuación

>Top, >Modelo


La temperatura atmosferica inferior se puede estimar mediante:

\delta T_b = 0.193\delta I_s - 66.120\delta \gamma_v + 136.209\delta \gamma_i - 64.106\delta a_e - 25.142\delta a_a

donde se asumieron los valores

Parámetros | Valor

-------------------|:---------:

a_e | 0.152

a_a | 0.535

\gamma_v | 0.421

\gamma_i | 0.897

\kappa | 2.226W/m^2K

\epsilon_e | 1

\epsilon_b | 1

\epsilon_t | 1

I_s | 342W/m^2

T_e | 14.8^{\circ}C

T_b | 1.79^{\circ}C

T_t | -30.98^{\circ}C

ID:(7441, 0)



Solución numérica, temperatura atmosférica (superior)

Ecuación

>Top, >Modelo


La temperatura atmosferica superior se puede estimar mediante:

\delta T_t = 0.172\delta I_s - 23.693\delta \gamma_v + 99.662\delta \gamma_i-46.905\delta a_e - 40.745\delta a_a

donde se asumieron los valores

Parámetros | Valor

-------------------|:---------:

a_e | 0.152

a_a | 0.535

\gamma_v | 0.421

\gamma_i | 0.897

\kappa | 2.226W/m^2K

\epsilon_e | 1

\epsilon_b | 1

\epsilon_t | 1

I_s | 342W/m^2

T_e | 14.8^{\circ}C

T_b | 1.79^{\circ}C

T_t | -30.98^{\circ}C

ID:(7442, 0)



Calentamiento Global bajo distintos escenarios

Imagen

>Top


Si se consideran los distintos escenarios B1, A1B y A1 se puede estudiar la probable evolución de la temperatura sobre la superficie del planeta.

Calentamiento Global bajo distintos escenarios

5.3-------7.67.57.68.27.67.6-8.78.78.711.38.79.3-7.17.17.015.17.010.421-------535657415351-16418118782136110-5255295502433282356.0-------11.212.110.011.010.09.0-23.116.012.316.511.711.2-30.313.14.328.95.213.81.1-------1.50.50.31.20.60.0-0.80.40.00.9-0.4-0.2--2.10.40.00.2-1.0-0.5310-------416421415424377384-630452500598359505-7352892748892365976.7------

-9.37.26.19.68.16.1-14.57.46.112.08.36.3-16.67.05.416.55.76.9
Escenarios1990A1FIA1BA1TA2B1B2
Población (1E+9)
2020
2050
2100
GDP (1E+12 1990US$/yr)
2020
2050
2100
CO2, fosil (GtC/yr)
2020
2050
2100
CO2, agro (GtC/yr)
2020
2050
2100
Metano, (MtCH4/yr)
2020
2050
2100
NO, (MtN/yr)
2020
2050
2100

ID:(7333, 0)



Calentamiento Global (ejemplo)

Imagen

>Top


La siguiente gráfica muestra el calentamiento según zona geográfica:

Calentamiento Global (ejemplo)

ID:(7332, 0)