Storyboard

Clouds are displaced by air currents generated by differences in pressures in different areas. Each drop is accelerated by the effect of Stokes-like forces until reaching the speed of the moving air that can be several meters per second and that depend on the height above the ground.

>Model

ID:(800, 0)

Description

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Cuando corre viento por un lugar en que existen nubes o neblina el movimiento del aire comienza a ejercer fuerza sobre las pequeñas gotas pudiendo arrastrarlas.

ID:(7786, 0)

Equation

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The resistance is defined in terms of the fluid viscosity and the sphere's velocity as follows:

Stokes explicitly calculated the resistance experienced by the sphere and determined that viscosity is proportional to the sphere's radius and its velocity, leading to the following equation for resistance:

$F_v =6 \pi \eta r v$

Conditions

Variables

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

Radius of a sphere

$m$

10331

$v$

Speed

$m/s$

6029

$F_v$

Viscose force

$N$

4979

$\eta$

Viscosity

$Pa s$

5422

Relation

ID:(4871, 0)

Equation

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Como la fuerza que ejerce el viento de velocidad $V$ es igual a

$F=6\pi\eta a (V-v)$

se tiene que la velocidad de puede calcular de resolver la ecuación

$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=6\pi\eta a (V-v)$

donde $m$ es la masa de la gota. Si la masa se calcula del radio $a$ y densidad del agua $\rho_w$ mediante

$m=\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_w$

se tiene la ecuación

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau} (V-v)$

con el tiempo caracteristico

$\tau =\displaystyle\frac{2a^2\rho_w}{9\eta}$

La solución es por ello

$v(t)=V(1-e^{-t/\tau})$

ID:(7788, 0)

Equation

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El tiempo caracteristico es

$\tau =\displaystyle\frac{2a^2\rho_w}{9\eta}$

lo que permite estudair en que escala de tiempo ocurre la aceleración.

ID:(7789, 0)

Image

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clouds006

ID:(7815, 0)

Image

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clouds007

ID:(7816, 0)

Equation

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Si se integra la ecuación

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(V-v)$

en eltiempo se obtiene que el camino en el tiempo es igual a

$x(t)=V\tau(\displaystyle\frac{t}{\tau}-1+e^{-t/\tau})$

ID:(7790, 0)

Equation

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Dado que el tiempo característico es solo de algunos segundos se puede considerar que las gotas viajan a velocidad constante tanto con el viento como en su caída. Por ello, si la velocidad del viento es $V$ el camino recorrido en un tiempo $t$ será

$d=Vt$

Como $t$ es el tiempo de la caída, si $h$ es la altura y la velocidad de caida es

$v=\displaystyle\frac{2r^2\rho_w g}{9\eta}$

se tiene que el tiempo de caída será

$t=\displaystyle\frac{h}{v}$

por lo que la distancia viajada será

$d=\displaystyle\frac{9\eta}{2\rho_w g}\displaystyle\frac{Vh}{r^2}$

Por ello

> *La distancia recorrida es proporcional a la velocidad del viento y la altura inicial e inversamente proporcional al radio de la gota:*

> *$d\prop\displaystyle\frac{Vh}{r^2}*$

ID:(7822, 0)

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Si se considera que el viento viaja a $1,m/s$ y las gotas tienen un radio entre $1\mu m$ y $1000\mu m=1,mm$ y están a una altura entre $3,m$ y $300,m$ se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logarítmica) continuación:


Distancia recorrida para viento de $1,m/s$.

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que $100,km$. Las distancias menores ($cm$) se dan para gotas grandes ($1, mm$) a baja altura ($3,m$).

Para el caso de lluvia ($r > 0.1,mm$) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de los $10,m$.

Para el caso de neblina ($r < 50\mu m$) practicamente ninguna gota alcanza suelo.

ID:(7820, 0)

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Si se considera que el viento viaja a $5,m/s$ y las gotas tienen un radio entre $1\mu m$ y $1000\mu m=1,mm$ y están a una altura entre $3,m$ y $300,m$ se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logarítmica) continuación:


Distancia recorrida para viento de $5,m/s$.

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que $100,km$. Las distancias menores ($cm$) se dan para gotas grandes ($1, mm$) a baja altura ($3,m$).

Para el caso de lluvia ($r > 0.1,mm$) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de unos $400,m$.

Para el caso de neblina ($r < 50\mu m$) practicamente ninguna gota alcanza suelo.

ID:(7819, 0)

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Si se considera que el viento viaja a $10,m/s$ y las gotas tienen un radio entre $1\mu m$ y $1000\mu m=1,mm$ y están a una altura entre $3,m$ y $300,m$ se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logarítmica) continuación:


Distancia recorrida para viento de $10,m/s$.

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que $100,km$. Las distancias menores ($cm$) se dan para gotas grandes ($1, mm$) a baja altura ($3,m$).

Para el caso de lluvia ($r > 0.1,mm$) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de unos $1200,m$.

Para el caso de neblina ($r > 50\mu m$) practicamente ninguna gota alcanza suelo.

ID:(7821, 0)