Se apenas uma esp cie assumida, a equa o

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$

reduz equa o

$ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$

j que as popula es restantes, incluindo os termos mistos em \alpha_{ji}, s o nulas.

(ID 14279)

A equa o

$ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$

tende a uma solu o assint tica igual a

$ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$

\n\no que s faz sentido se esse valor for positivo. Por outro lado, a equa o para pequenas popula es se reduz a\n\n

$\displaystyle\frac{dn}{dt}\sim r n$

o que s faz sentido se o fator r for positivo.

Portanto, o modelo s faz sentido se

o fator $r_i$ sempre positivo

am

o fator diagonal (autointera o) $\alpha_{ii}$ negativo

Este ltimo pode ser entendido no contexto de que um aumento excessivo ser retardado por recursos n o associados a uma esp cie (por exemplo, espa o, luz, produtos qu micos, etc.)

(ID 14281)

A equa o

$ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$

com a condi o

$ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$

pode ser resolvido dando-nos a solu o

$ n(t) = \displaystyle\frac{n_{\infty}}{1 + (n_{\infty}/n_0 - 1)e^{-rt}}$

onde n_0 a popula o inicial.

(ID 14280)