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Wärmediffusion und molekularer Transport
Storyboard
In einer Flüssigkeit eingetauchte Partikel befinden sich aufgrund der thermischen Bewegung, die durch mikroskopische Kollisionen mit Molekülen in der Umgebung entsteht, in ständiger Bewegung. Diese zufällige Bewegung erzeugt eine fortschreitende Verteilung der Partikel von Regionen höherer Konzentration zu Regionen niedrigerer Konzentration. Der Diffusionsprozess stellt eine der grundlegenden makroskopischen Manifestationen der statistischen Physik dar und spiegelt die natürliche Tendenz von Systemen wider, sich in Richtung homogenerer Zustände und höherer Entropie zu entwickeln.
ID:(1311, 'ky')
Abstand zwischen zwei Punkten
Beschreibung
Es werden zwei Punkte und ein ihnen zugeordnetes Volumen definiert, innerhalb derer die Konzentration der Partikel bestimmt wird.
Abstand zwischen zwei Punkten.
Anschließend wird Distancia de Posiciones ($\Delta x$) als Differenz zwischen Platz 2 ($x_2$) und Platz 1 ($x_1$) berechnet:
 $\Delta x = x_2 - x_1$
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ID:(15300, 'gm')
Konzentrationsunterschied
Beschreibung
Die Konzentration der Partikel an jedem Punkt wird abgeschätzt und anschließend die Differenz zwischen beiden Konzentrationen bestimmt:
Konzentrationsunterschied ($\Delta C$) ergibt sich durch Subtraktion von Konzentration auf Punkt 1 ($C_1$) von Konzentration auf Punkt 2 ($C_2$):
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$\Delta C = C_2 - C_1$
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ID:(3882, 'gm')
Ficks erstes Gesetz
Beschreibung
Aus der statistischen Physik lässt sich Diffusion als makroskopische Folge der Brownschen Bewegung enormer Teilchenmengen verstehen.
Die grundlegende Beziehung, die die diffusive Strömung beschreibt, ist das erste Ficksche Gesetz:
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$J_d = - D \displaystyle\frac{ dC }{ dx }$
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mit Partikelfluss durch Diffusion ($J_x$), Diffusionskonstante ($D$), Konzentrationsvariation ($dC$) und Distanzvariation ($dx$).
ID:(15301, 'gm')
Stockes Gesetz
Beschreibung
Das Gesetz von Stokes beschreibt die viskose Reibungskraft, die ein kugelförmiges Teilchen erfährt, wenn es sich langsam durch eine Flüssigkeit bewegt. Wenn sich eine Kugel in einer Flüssigkeit oder einem Gas bewegt, werden die Flüssigkeitsschichten nahe ihrer Oberfläche aufgrund der Viskosität mitgerissen, wodurch eine Widerstandskraft entsteht, die der Bewegung entgegenwirkt.
Für niedrige Geschwindigkeiten und laminare Strömung kann diese Kraft ausgedrückt werden als:
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$F_x = 6 \pi \cdot \eta \cdot a \cdot v_x$
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ist Kraft ($F_x$), Viskosität ($\eta$), Radio der Molecule ($a$) und Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$). Die Gleichung zeigt, dass der Widerstand zunimmt, wenn die Flüssigkeit viskoser ist, wenn die Partikel größer sind oder wenn die Bewegungsgeschwindigkeit zunimmt. Die lineare Abhängigkeit von der Geschwindigkeit weist darauf hin, dass das Gesetz im langsamen laminaren Bereich gilt, der kleinen Reynolds-Zahlen entspricht, wo viskose Kräfte über die Trägheit dominieren und keine nennenswerten Turbulenzen auftreten.
Konzeptionell fungiert die Flüssigkeit als dissipatives Medium, das Bewegungen kontinuierlich dämpft und mechanische Energie in Wärme umwandelt. Auf mikroskopischer Ebene hat dies sehr wichtige Konsequenzen, da in Flüssigkeiten eingetauchte kleine Partikel einen so dominanten viskosen Widerstand erfahren, dass die Trägheit praktisch verschwindet. Die Bewegung wird dann hauptsächlich durch das Gleichgewicht zwischen äußeren Kräften, Viskosität und thermischen Schwankungen gesteuert.
ID:(16279, 'gm')
Mechanische Mobilität
Beschreibung
Mechanische Mobilität beschreibt, wie leicht sich ein Teilchen unter Einwirkung einer äußeren Kraft durch ein Medium bewegen kann. Es stellt die Fähigkeit des Partikels dar, auf eine Kraft zu reagieren und gleichzeitig den viskosen Widerstand der Umgebung zu berücksichtigen.
Konzeptionell erfährt ein in eine Flüssigkeit eingetauchtes Teilchen zwei gegensätzliche Effekte. Die aufgebrachte Kraft versucht es zu beschleunigen, während die Viskosität des Mediums eine Reibungskraft erzeugt, die der Bewegung entgegenwirkt. Nach einer kurzen Zeitspanne gleichen sich beide Kräfte aus und das Teilchen erreicht eine konstante Durchschnittsgeschwindigkeit, die sogenannte Driftgeschwindigkeit.
Die Mobilität gibt genau an, wie viel Geschwindigkeit das Teilchen pro Krafteinheit annimmt.
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$v_x = \mu_m \cdot F_x$
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wobei Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$), Mechanische mobilität ($\mu_m$) und Kraft ($F_x$). Die Gleichung zeigt, dass sich das Teilchen schneller bewegt, wenn die Kraft zunimmt. Ebenso reagieren Partikel mit größerer Mobilität effizienter auf Kräfte und erreichen höhere Geschwindigkeiten.
ID:(16287, 'gm')
Boltzmann-Verteilung
Beschreibung
Die Boltzmann-Verteilung beschreibt, wie sich Teilchen zwischen verschiedenen Energiezuständen verteilen, wenn sich ein System im thermischen Gleichgewicht befindet. Konzeptionell drückt es das Gleichgewicht zwischen zwei gegensätzlichen Tendenzen aus. Einerseits neigen physikalische Systeme aufgrund der thermischen Bewegung und der mit der Entropie verbundenen Unordnung statistisch gesehen dazu, viele mögliche Zustände einzunehmen. Andererseits sind Zustände höherer Energie weniger wahrscheinlich, da für deren Besetzung mehr Energie erforderlich ist.
Infolgedessen neigen Partikel dazu, sich bevorzugt in Regionen oder Zuständen niedrigerer potentieller Energie anzusammeln, während die Anwesenheit von Temperatur es einem Teil von ihnen ermöglicht, auch höhere Energiezustände zu erreichen. Je höher die Temperatur, desto wichtiger wird die thermische Bewegung und desto leichter können Partikel energiereiche Zustände einnehmen.
Die Boltzmann-Verteilung quantifiziert genau diesen Wettbewerb zwischen Energie und thermischer Bewegung. Es kann ausgedrückt werden als:
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$C = C_0 e^{- U / k_B \cdot T }$
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mit Konzentration ($C$), Referenzkonzentration ($C_0$), Potenzielle Energie von Teilchen ($U$), Boltzmann-Konstante ($k_B$) und Absolute Temperatur ($T$).
Der Exponentialterm zeigt, dass die Konzentration mit zunehmender potentieller Energie exponentiell abnimmt. Zustände mit hoher Energie sind viel weniger wahrscheinlich als Zustände mit niedriger Energie. Mit steigender Temperatur wächst jedoch der Faktor $k_B \cdot T$ und die Abnahme wird weniger ausgeprägt, sodass mehr Teilchen hohe Energieniveaus erreichen können.
ID:(16288, 'gm')
Stärke und potenzielle Energie
Beschreibung
Potenzielle Energie stellt die gespeicherte Energie dar, die mit der Position eines Teilchens innerhalb eines Kraftfelds verbunden ist. Während potentielle Energie beschreibt, wie Energie im Raum verteilt ist, beschreibt Kraft, wie ein Teilchen lokal auf diese Verteilung reagiert.
Kraft entsteht genau dann, wenn sich potentielle Energie von einem Punkt zum anderen ändert. Wenn es eine räumliche Variation der Energie gibt, neigen die Teilchen dazu, sich spontan in Bereiche mit niedrigerer potentieller Energie zu bewegen.
Mathematisch entspricht die Kraft der Geschwindigkeit, mit der sich die potentielle Energie im Raum ändert, also ihrer räumlichen Ableitung:
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$F_x = - \displaystyle\frac{ dU }{ dx }$
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mit Kraft ($F_x$), Variation der potentiellen Energie ($dU$) und Distanzvariation ($dx$).
Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Kraft dorthin zeigt, wo die potentielle Energie am schnellsten abnimmt. Mit anderen Worten: Teilchen werden in der potenziellen Energielandschaft spontan bergab beschleunigt.
ID:(16289, 'gm')
Partikelfluss
Beschreibung
Der Partikelfluss entspricht der Anzahl der Partikel, die pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit eine Oberfläche senkrecht zur Bewegungsrichtung durchqueren. Zur Berechnung wird davon ausgegangen, dass Konzentration ($C$) die Anzahl der Partikel pro Volumeneinheit darstellt. Wenn sich die Teilchen mit Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$) bewegen, dann legen sie während eines Zeitintervalls $\Delta t$ eine Strecke $v \Delta t$ zurück.
Wenn eine Oberfläche $S$ senkrecht zur Bewegung betrachtet wird, beträgt das überstrichene Volumen während dieses Intervalls $S \cdot v \cdot \Delta t$. Da jede Volumeneinheit $C$-Partikel enthält, beträgt die Gesamtzahl der Partikel, die die Oberfläche überqueren:
$\Delta N = C \cdot S \cdot v \cdot \Delta t$
Daher kann der Partikelfluss ausgedrückt werden als:
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$J_x = C \cdot v_x$
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mit Partikelfluss durch Diffusion ($J_x$), Konzentration ($C$) und Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$).
ID:(16290, 'gm')
Diffusionskonstante
Beschreibung
Ein elektrochemisches Gleichgewicht entsteht, wenn der mit der Diffusion verbundene Fluss genau durch den von Elektrisches Feld ($E_x$) erzeugten Fluss kompensiert wird. In dieser Situation gibt es keinen Nettofluss von Partikeln durch die Membran, da beide Mechanismen gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind.
Der Partikelfluss durch Diffusion ($J_x$) wird durch das erste Ficksche Gesetz beschrieben:
wobei Diffusionskonstante ($D$), Konzentrationsvariation ($dC$) und Distanzvariation ($dx$). Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Diffusion spontan von Regionen höherer Konzentration zu Regionen niedrigerer Konzentration erfolgt.
Um beide Mechanismen in Beziehung zu setzen, wird davon ausgegangen, dass die Partikel gemäß der Boltzmann-Verteilung thermisch verteilt sind:
wobei Potenzielle Energie von Teilchen ($U$) mit der Position der Partikel verknüpft ist, Boltzmann-Konstante ($k_B$) und Absolute Temperatur ($T$). Dieser Ausdruck zeigt, dass Regionen mit höherer potentieller Energie geringere Partikelkonzentrationen aufweisen.
Leiten Sie diese Verteilung in Bezug auf x ab:
$\displaystyle\frac{dC}{dx}=-\displaystyle\frac{C}{k_B\cdot T}\displaystyle\frac{dU}{dx}$
Der Kraft ($F_x$) steht im Zusammenhang mit dem Potenzial durch:
während die viskose Reibungskraft, die der Bewegung entgegenwirkt, durch das Stokessche Gesetz gegeben ist:
wobei Viskosität ($\eta$), Radio der Molecule ($a$) und Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$).
Da der Teilchenfluss ausgedrückt werden kann als:
Du bekommst:
$C\cdot v_x=J_x=-D\displaystyle\frac{dC}{dx}=D\displaystyle\frac{C}{k_B\cdot T}6\pi \cdot \eta \cdot a \cdot v_x$
In diesem Ausdruck ist zu erkennen, dass die thermische Diffusion, beschrieben durch die Boltzmann-Verteilung, dazu neigt, die Partikel zu dispergieren, während die Viskosität des Mediums, dargestellt durch das Stokes-Gesetz, der Bewegung entgegenwirkt. Die Diffusionskonstante ergibt sich genau aus dem Gleichgewicht zwischen beiden Effekten.
ID:(16277, 'gm')
Wärmediffusion und molekularer Transport
Beschreibung
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Variablen
ID:(1311, 0)
Palos Verdes, Costa de Corral, Chile