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Elektrochemisches Gleichgewicht in Membranen
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In Membranen, die für geladene Teilchen durchlässig sind, wirken Diffusion und elektrischer Transport gleichzeitig. Während die Diffusion dazu neigt, die Konzentrationen auf beiden Seiten der Membran auszugleichen, erzeugt die Ladungsverschiebung elektrische Potentialunterschiede, die der Diffusionsbewegung entgegenwirken. Das elektrochemische Gleichgewicht ist erreicht, wenn sich beide Effekte exakt kompensieren und der Nettostrom der Teilchen verschwindet. Dieses Gleichgewicht bildet die physikalische Grundlage grundlegender Phänomene wie Membranpotential, zellulärer Ionentransport und der Nernst-Gleichung.
ID:(2061, 'ky')
Ficks erstes Gesetz
Beschreibung
Aus der statistischen Physik lässt sich Diffusion als makroskopische Folge der Brownschen Bewegung enormer Teilchenmengen verstehen.
Die grundlegende Beziehung, die die diffusive Strömung beschreibt, ist das erste Ficksche Gesetz:
 $J_d = - D \displaystyle\frac{ dC }{ dx }$
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mit Partikelfluss durch Diffusion ($J_x$), Diffusionskonstante ($D$), Konzentrationsvariation ($dC$) und Distanzvariation ($dx$).
ID:(15301, 'gm')
Diffusionskonstante
Beschreibung
Ein elektrochemisches Gleichgewicht entsteht, wenn der mit der Diffusion verbundene Fluss genau durch den von Elektrisches Feld ($E_x$) erzeugten Fluss kompensiert wird. In dieser Situation gibt es keinen Nettofluss von Partikeln durch die Membran, da beide Mechanismen gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind.
Der Partikelfluss durch Diffusion ($J_x$) wird durch das erste Ficksche Gesetz beschrieben:
wobei Diffusionskonstante ($D$), Konzentrationsvariation ($dC$) und Distanzvariation ($dx$). Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Diffusion spontan von Regionen höherer Konzentration zu Regionen niedrigerer Konzentration erfolgt.
Um beide Mechanismen in Beziehung zu setzen, wird davon ausgegangen, dass die Partikel gemäß der Boltzmann-Verteilung thermisch verteilt sind:
wobei Potenzielle Energie von Teilchen ($U$) mit der Position der Partikel verknüpft ist, Boltzmann-Konstante ($k_B$) und Absolute Temperatur ($T$). Dieser Ausdruck zeigt, dass Regionen mit höherer potentieller Energie geringere Partikelkonzentrationen aufweisen.
Leiten Sie diese Verteilung in Bezug auf x ab:
$\displaystyle\frac{dC}{dx}=-\displaystyle\frac{C}{k_B\cdot T}\displaystyle\frac{dU}{dx}$
Der Kraft ($F_x$) steht im Zusammenhang mit dem Potenzial durch:
während die viskose Reibungskraft, die der Bewegung entgegenwirkt, durch das Stokessche Gesetz gegeben ist:
wobei Viskosität ($\eta$), Radio der Molecule ($a$) und Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$).
Da der Teilchenfluss ausgedrückt werden kann als:
Du bekommst:
$C\cdot v_x=J_x=-D\displaystyle\frac{dC}{dx}=D\displaystyle\frac{C}{k_B\cdot T}6\pi \cdot \eta \cdot a \cdot v_x$
In diesem Ausdruck ist zu erkennen, dass die thermische Diffusion, beschrieben durch die Boltzmann-Verteilung, dazu neigt, die Partikel zu dispergieren, während die Viskosität des Mediums, dargestellt durch das Stokes-Gesetz, der Bewegung entgegenwirkt. Die Diffusionskonstante ergibt sich genau aus dem Gleichgewicht zwischen beiden Effekten.
ID:(16277, 'gm')
Elektrische Mobilität und Viskositätsbeziehung
Beschreibung
Der Kraft ($F_x$), der auf einen Elektrische Ladung des Teilchens ($q$) wirkt, der in einen Elektrisches Feld ($E_x$) eingetaucht ist, kann wie folgt ausgedrückt werden:
Diese Kraft neigt dazu, das Teilchen in Richtung des Feldes zu beschleunigen, wenn die Ladung positiv ist, oder in die entgegengesetzte Richtung, wenn es negativ ist.
Wenn sich das Teilchen jedoch in einer viskosen Flüssigkeit bewegt, entsteht eine Reibungskraft, die der Bewegung entgegenwirkt. Für kleine Teilchen im laminaren Bereich ist diese Kraft durch das Stokessche Gesetz gegeben:
mit Kraft ($F_x$), Viskosität ($\eta$), Radio der Molecule ($a$) und Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$). Wenn das Teilchen beschleunigt, erhöht sich die viskose Kraft, bis sie genau die elektrische Kraft ausgleicht. In diesem Moment wird eine konstante Geschwindigkeit erreicht, die sogenannte Driftgeschwindigkeit. Durch Gleichsetzung beider Kräfte erhalten wir:
$q \cdot E_x= 6\pi \eta \cdot a \cdot v_x$
Nach Geschwindigkeit auflösen:
$v_x = \displaystyle\frac{ q }{6\pi \cdot \eta \cdot a } E_x$
Andererseits wird Elektromobilität ($\mu_q$) durch die Beziehung definiert:
Wenn wir beide Ausdrücke für die Geschwindigkeit vergleichen, erhalten wir direkt:
ID:(16286, 'gm')
Elektrische Potentialdifferenz
Beschreibung
An jedem Punkt wird das elektrische Potenzial gemessen und anschließend die Differenz beider Potenziale ermittelt:
Elektrische Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten.
Elektrische Potentialdifferenz ($\Delta V$) ergibt sich durch Subtraktion von Elektrisches Potenzial in 1 ($V_1$) von Elektrisches Potenzial in 2 ($V_2$):
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$\Delta V = V_2 - V_1$
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ID:(15359, 'gm')
Teilchenfluss durch elektrisches Feld
Beschreibung
Aus der statistischen Physik kann der Fluss aufgrund eines elektrischen Feldes als die kollektive Bewegung geladener Teilchen verstanden werden, die einer elektrischen Kraft ausgesetzt sind, die durch eine Potentialdifferenz erzeugt wird.
Wenn die Partikel einen Elektrische Ladung des Teilchens ($q$) haben und sich in der Gegenwart eines Elektrisches Feld ($E_x$) befinden, erfahren sie einen Kraft ($F_x$).
Diese Kraft beschleunigt die Teilchen in Richtung des Feldes, wenn die Ladung positiv ist, oder in die entgegengesetzte Richtung, wenn sie negativ ist. Aufgrund von Kollisionen und der effektiven Viskosität des Mediums beschleunigen die Teilchen jedoch nicht unbegrenzt weiter, sondern erreichen Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Medium ($v_x$).
Wenn Konzentration ($C$), dann entspricht Teilchenfluss durch elektrisches Feld ($\vec{J}$) der Anzahl der Partikel, die pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit eine Oberfläche senkrecht zur Bewegung durchqueren. Dieser Fluss kann ausgedrückt werden als:
Die Driftgeschwindigkeit hängt davon ab, wie leicht die Partikel auf Elektrisches Feld ($E_x$) reagieren. Diese Eigenschaft wird durch Elektromobilität ($\mu_q$) beschrieben, definiert durch:
Die Gleichung zeigt, dass Teilchen mit größerer Mobilität bei gleichem elektrischen Feld höhere Geschwindigkeiten erreichen.
Andererseits kann das elektrische Feld als räumliche Variation des elektrischen Potentials interpretiert werden. In einer Dimension:
Dabei zeigt das negative Vorzeichen an, dass das Feld dorthin zeigt, wo das Potenzial am schnellsten abnimmt.
Durch Einsetzen dieser Beziehungen erhalten wir schließlich:
ID:(16276, 'gm')
Valencia
Beschreibung
Valencia ($z$) stellt die Anzahl der Elementarladungen dar, die ein Teilchen oder Ion hat. Gibt sowohl die Größe als auch das Vorzeichen der elektrischen Ladung in Einheiten der Grundladung des Elektrons an. Konzeptionell drückt die Valenz aus, wie viele Elektronen ein Atom verloren oder gewonnen hat, wenn es zu einem Ion wird.
Valenz kann ausgedrückt werden als:
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$z = \displaystyle\frac{ q }{ e }$
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wobei Valencia ($z$), Elektrische Ladung des Teilchens ($q$) und Elektrische Ladung des Elektrons ($e$).
ID:(16283, 'gm')
Faradaysche Konstante
Beschreibung
Faradaysche Konstante ($F$) stellt die gesamte elektrische Ladung dar, die in einem Mol Elementarladungen enthalten ist. Konzeptionell verbindet es die mikroskopische Welt einzelner Elektronen und Ionen mit der makroskopischen Welt molarer Größen, die in der Chemie und Thermodynamik verwendet werden.
Daher kann die in einem Mol Elektronen enthaltene Gesamtladung durch Multiplikation beider Größen berechnet werden:
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$F = e N_A$
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wobei Faradaysche Konstante ($F$), Elektrische Ladung des Teilchens ($q$) und Elektrische Ladung des Elektrons ($e$).
ID:(16284, 'gm')
Universelle Konstante idealer Gase
Beschreibung
Der Gaskonstante ($R$) drückt aus, wie viel Wärmeenergie mit einem Mol Partikel pro Temperatureinheit verbunden ist.
Da ein Mol die Anzahl der Teilchen von Avogadro enthält, kann die universelle Gaskonstante durch Multiplikation beider Größen berechnet werden:
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$R = N_A \cdot k_B$
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wobei Gaskonstante ($R$), Avogadros Nummer ($N_A$) und Boltzmann-Konstante ($k_B$).
ID:(16285, 'gm')
Nernst-Gleichung
Beschreibung
Der Partikelfluss durch Diffusion ($J_x$) wird durch das erste Ficksche Gesetz beschrieben:
wobei Diffusionskonstante ($D$), Konzentrationsvariation ($dC$) und Distanzvariation ($dx$). Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Diffusion spontan von Regionen höherer Konzentration zu Regionen niedrigerer Konzentration erfolgt.
Andererseits erzeugt ein Unterschied im elektrischen Potenzial ein elektrisches Feld, das die Verschiebung geladener Teilchen bewirkt.
Der mit diesem Mechanismus verbundene Partikelfluss durch Diffusion ($J_x$) kann wie folgt ausgedrückt werden:
wobei Elektromobilität ($\mu_q$), Konzentration ($C$), Variation des elektrischen Potenzials ($dV$) und Distanzvariation ($dx$).
Im Gleichgewicht sind beide Flüsse gleich:
$D\displaystyle\frac{dC}{dx}=\mu_q \cdot C \displaystyle\frac{dV}{dx}$
Lösung für die Variation des elektrischen Potentials:
$dV=\displaystyle\frac{D}{\mu_q}\displaystyle\frac{dC}{C}$
Dieser Ausdruck zeigt, dass eine relative Konzentrationsänderung eine Änderung des elektrischen Potenzials hervorruft. Durch Integration zwischen Seite 1 und Seite 2 der Membran erhalten wir:
$V_2-V_1=\displaystyle\frac{D}{\mu_q}\log\left(\displaystyle\frac{C_2}{C_1}\right)$
Im weiteren Verlauf werden die mikroskopischen Ausdrücke der Diffusionskonstante und der elektrischen Mobilität verwendet. Der Wert Diffusionskonstante ($D$) ergibt sich aus der Stokes-Einstein-Beziehung:
mit Boltzmann-Konstante ($k_B$), Absolute Temperatur ($T$), Viskosität ($\eta$) und Radio der Molecule ($a$), während Elektromobilität ($\mu_q$) wie folgt ausgedrückt werden kann:
mit Elektrische Ladung des Teilchens ($q$).
Da die Ladung eines Ions wie folgt geschrieben werden kann:
und
mit Valencia ($z$), Elektrische Ladung des Elektrons ($e$), Avogadros Nummer ($N_A$), Gaskonstante ($R$) und Faradaysche Konstante ($F$) schließlich im integrierten Ausdruck des Potentials:
ID:(16278, 'gm')
Elektrochemisches Gleichgewicht in Membranen
Beschreibung
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Variablen
ID:(2061, 0)
Palos Verdes, Costa de Corral, Chile