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Número de estados e probabilidades
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Para sistematizar o estudo de um sistema usando o método de contagem de estados, buscamos estabelecer uma relação direta entre a probabilidade de encontrar o sistema em uma energia específica e o número de estados associados.
ID:(493, 0)
Número de estados e probabilidades
Descrição
Para sistematizar o estudo de um sistema usando o método de contagem de estados, buscamos estabelecer uma relação direta entre a probabilidade de encontrar o sistema em uma energia específica e o número de estados associados.
Variáveis
Cálculos
para 
,
depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
(ID 3520)
(ID 3522)
Exemplos
Suponhamos que um sistema com energia $E_r$ esteja em contato com um reservat rio t rmico de energia $E'$.
Entende-se por reservat rio t rmico um sistema no qual a temperatura permanece constante. Uma maneira de alcan ar isso utilizando um reservat rio grande (como um banho-maria).
Se ambos os sistemas estiverem isolados do ambiente, a soma de suas energias permanecer constante, o que pode ser expresso com da seguinte forma:
| $E_0=E_r+E_h$ |
.
(ID 3520)
A probabilidade de encontrar o sistema em um estado em que ele tenha uma energia $E_r$, enquanto o reservat rio tem uma energia $E' = E_0 - E_r$, definida como
$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$
onde $C$ uma constante ajustada para garantir que a probabilidade esteja normalizada.
Uma vez que $P_r$ representa a probabilidade de encontrar o sistema em um estado espec fico $r$, o n mero de estados no estado $r$ igual a um. Em outras palavras, isso implica que
$\Omega_r(E_r) = 1$
Portanto, a probabilidade pode ser expressa em rela o a da seguinte forma:
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
(ID 3521)
Se somarmos as probabilidades de cada estado $r$, o resultado deve ser igual a um. Isso significa que est normalizado com a :
| $\sum_rP_r=1$ |
Isso equivalente a dizer que o sistema deve necessariamente estar em um dos estados poss veis.
(ID 3522)
Uma vez que a energia $E_r$ muito menor do que a energia total $E_0`, o logaritmo do n mero de estados pode ser expandido em torno da energia $E_r$ da seguinte forma:
$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$
Uma vez que a derivada do logaritmo do n mero de estados igual fun o beta:
$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$
Conclu mos que, em uma primeira aproxima o com ,
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
.
(ID 3523)
Se substituirmos a express o
| $\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r$ |
com
na equa o de probabilidade com ,
| $P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)$ |
,
obtemos, com , a probabilidade
| $P_r=Ce^{-\beta E_r}$ |
,
onde $C$ uma constante a ser determinada usando a condi o de normaliza o.
A express o $e^{-\beta E}$ chamada de fator de Boltzmann, e a distribui o que descreve conhecida como distribui o can nica.
(ID 3524)
Sob a condi o de normaliza o com ,
| $\sum_rP_r=1$ |
,
obt m-se que a constante de normaliza o $C$ igual a :
| $C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r}$ |
.
(ID 3525)
ID:(493, 0)