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Número de estados e probabilidades

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Para sistematizar o estudo de um sistema usando o método de contagem de estados, buscamos estabelecer uma relação direta entre a probabilidade de encontrar o sistema em uma energia específica e o número de estados associados.

>Modelo

ID:(493, 0)



Sistema em contato com reservatório térmico

Equação

>Top, >Modelo


Suponhamos que um sistema com energia E_r esteja em contato com um reservatório térmico de energia E'.

Entende-se por reservatório térmico um sistema no qual a temperatura permanece constante. Uma maneira de alcançar isso é utilizando um reservatório grande (como um banho-maria).

Se ambos os sistemas estiverem isolados do ambiente, a soma de suas energias permanecerá constante, o que pode ser expresso com da seguinte forma:

E_0=E_r+E_h

.

ID:(3520, 0)



Probabilidade de encontrar o sistema em um estado r

Equação

>Top, >Modelo


A probabilidade de encontrar o sistema em um estado em que ele tenha uma energia E_r, enquanto o reservatório tem uma energia E' = E_0 - E_r, é definida como

P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')



onde C é uma constante ajustada para garantir que a probabilidade esteja normalizada.

Uma vez que P_r representa a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico r, o número de estados no estado r é igual a um. Em outras palavras, isso implica que

\Omega_r(E_r) = 1



Portanto, a probabilidade pode ser expressa em relação a da seguinte forma:

P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)

ID:(3521, 0)



Condição de normalização

Equação

>Top, >Modelo


Se somarmos as probabilidades de cada estado r, o resultado deve ser igual a um. Isso significa que está normalizado com a :

\sum_rP_r=1

Isso é equivalente a dizer que o sistema deve necessariamente estar em um dos estados possíveis.

ID:(3522, 0)



Desenvolvimento do número de estados na série de Taylor

Equação

>Top, >Modelo


Uma vez que a energia E_r é muito menor do que a energia total E_0`, o logaritmo do número de estados pode ser expandido em torno da energia E_r$ da seguinte forma:

\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots



Uma vez que a derivada do logaritmo do número de estados é igual à função beta:

\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0



Concluímos que, em uma primeira aproximação com ,

\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r

.

ID:(3523, 0)



Equação para a probabilidade do estado r

Equação

>Top, >Modelo


Se substituirmos a expressão

\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r



com

na equação de probabilidade com ,

P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r)

,

obtemos, com , a probabilidade

P_r=Ce^{-\beta E_r}

,

onde C é uma constante a ser determinada usando a condição de normalização.

A expressão e^{-\beta E} é chamada de fator de Boltzmann, e a distribuição que descreve é conhecida como distribuição canônica.

ID:(3524, 0)



Constante de normalização

Equação

>Top, >Modelo


Sob a condição de normalização com ,

\sum_rP_r=1

,

obtém-se que a constante de normalização C é igual a :

C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r}

.

ID:(3525, 0)



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Vídeo: Número de Estados e Probabilidades