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Para sistematizar o estudo de um sistema usando o método de contagem de estados, buscamos estabelecer uma relação direta entre a probabilidade de encontrar o sistema em uma energia específica e o número de estados associados.

>Modelo

ID:(493, 0)

Equação

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Suponhamos que um sistema com energia $E_r$ esteja em contato com um reservatório térmico de energia $E'$.

Entende-se por reservatório térmico um sistema no qual a temperatura permanece constante. Uma maneira de alcançar isso é utilizando um reservatório grande (como um banho-maria).

Se ambos os sistemas estiverem isolados do ambiente, a soma de suas energias permanecerá constante, o que pode ser expresso com da seguinte forma:

.

ID:(3520, 0)

Equação

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A probabilidade de encontrar o sistema em um estado em que ele tenha uma energia $E_r$, enquanto o reservatório tem uma energia $E' = E_0 - E_r$, é definida como

$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$

onde $C$ é uma constante ajustada para garantir que a probabilidade esteja normalizada.

Uma vez que $P_r$ representa a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico $r$, o número de estados no estado $r$ é igual a um. Em outras palavras, isso implica que

$\Omega_r(E_r) = 1$

Portanto, a probabilidade pode ser expressa em relação a da seguinte forma:

ID:(3521, 0)

Equação

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Se somarmos as probabilidades de cada estado $r$, o resultado deve ser igual a um. Isso significa que está normalizado com a :

Isso é equivalente a dizer que o sistema deve necessariamente estar em um dos estados possíveis.

ID:(3522, 0)

Equação

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Uma vez que a energia $E_r$ é muito menor do que a energia total $E_0`, o logaritmo do número de estados pode ser expandido em torno da energia $E_r$ da seguinte forma:

$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$

Uma vez que a derivada do logaritmo do número de estados é igual à função beta:

$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$

Concluímos que, em uma primeira aproximação com ,

.

ID:(3523, 0)

Equação

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Se substituirmos a expressão

com

na equação de probabilidade com ,

,

obtemos, com , a probabilidade

,

onde $C$ é uma constante a ser determinada usando a condição de normalização.

A expressão $e^{-\beta E}$ é chamada de fator de Boltzmann, e a distribuição que descreve é conhecida como distribuição canônica.

ID:(3524, 0)

Equação

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Sob a condição de normalização com ,

,

obtém-se que a constante de normalização $C$ é igual a :

.

ID:(3525, 0)

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Vídeo: Número de Estados e Probabilidades