
Número de estados e probabilidades
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Para sistematizar o estudo de um sistema usando o método de contagem de estados, buscamos estabelecer uma relação direta entre a probabilidade de encontrar o sistema em uma energia específica e o número de estados associados.
ID:(493, 0)

Sistema em contato com reservatório térmico
Equação 
Suponhamos que um sistema com energia E_r esteja em contato com um reservatório térmico de energia E'.
Entende-se por reservatório térmico um sistema no qual a temperatura permanece constante. Uma maneira de alcançar isso é utilizando um reservatório grande (como um banho-maria).
Se ambos os sistemas estiverem isolados do ambiente, a soma de suas energias permanecerá constante, o que pode ser expresso com da seguinte forma:
E_0=E_r+E_h |
.
ID:(3520, 0)

Probabilidade de encontrar o sistema em um estado r
Equação 
A probabilidade de encontrar o sistema em um estado em que ele tenha uma energia E_r, enquanto o reservatório tem uma energia E' = E_0 - E_r, é definida como
P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')
onde C é uma constante ajustada para garantir que a probabilidade esteja normalizada.
Uma vez que P_r representa a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico r, o número de estados no estado r é igual a um. Em outras palavras, isso implica que
\Omega_r(E_r) = 1
Portanto, a probabilidade pode ser expressa em relação a da seguinte forma:
P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r) |
ID:(3521, 0)

Condição de normalização
Equação 
Se somarmos as probabilidades de cada estado r, o resultado deve ser igual a um. Isso significa que está normalizado com a :
\sum_rP_r=1 |
Isso é equivalente a dizer que o sistema deve necessariamente estar em um dos estados possíveis.
ID:(3522, 0)

Desenvolvimento do número de estados na série de Taylor
Equação 
Uma vez que a energia E_r é muito menor do que a energia total E_0`, o logaritmo do número de estados pode ser expandido em torno da energia E_r$ da seguinte forma:
\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots
Uma vez que a derivada do logaritmo do número de estados é igual à função beta:
\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0
Concluímos que, em uma primeira aproximação com ,
\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r |
.
ID:(3523, 0)

Equação para a probabilidade do estado r
Equação 
Se substituirmos a expressão
\ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r |
com
na equação de probabilidade com ,
P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r) |
,
obtemos, com , a probabilidade
P_r=Ce^{-\beta E_r} |
,
onde C é uma constante a ser determinada usando a condição de normalização.
A expressão e^{-\beta E} é chamada de fator de Boltzmann, e a distribuição que descreve é conhecida como distribuição canônica.
ID:(3524, 0)

Constante de normalização
Equação 
Sob a condição de normalização com ,
\sum_rP_r=1 |
,
obtém-se que a constante de normalização C é igual a :
C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r} |
.
ID:(3525, 0)

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