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Nombre d'états et probabilités
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Afin de systématiser l'étude d'un système en utilisant la méthode de comptage des états, nous cherchons à établir une relation directe entre la probabilité de trouver le système à une énergie particulière et le nombre d'états associés.
ID:(493, 0)
Système en contact avec le réservoir thermique
Équation
Supposons qu'un système avec une énergie E_r soit en contact avec un réservoir thermique ayant une énergie E'.
On entend par réservoir thermique un système dont la température reste constante. Une façon d'obtenir cela est d'utiliser un réservoir de grande taille (comme un bain-marie).
Si les deux systèmes sont isolés de leur environnement, la somme de leurs énergies restera constante, ce qui peut s'exprimer avec de la manière suivante :
| E_0=E_r+E_h |
.
ID:(3520, 0)
Probabilité de trouver le système dans un état r
Équation
La probabilité de trouver le système dans un état où il a une énergie E_r, tandis que le réservoir a une énergie E' = E_0 - E_r, est définie comme
P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')
où C est une constante ajustée pour garantir que la probabilité soit normalisée.
Puisque P_r représente la probabilité de trouver le système dans un état particulier r, le nombre d'états dans l'état r est égal à un. En d'autres termes, cela signifie que
\Omega_r(E_r) = 1
Par conséquent, la probabilité peut être exprimée par rapport à comme suit :
| P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r) |
ID:(3521, 0)
Condition de normalisation
Équation
Si nous additionnons les probabilités de chaque état r, le résultat devrait être égal à un. Cela signifie qu'il est normalisé avec la :
| \sum_rP_r=1 |
Ceci équivaut à dire que le système doit nécessairement se trouver dans l'un des états possibles.
ID:(3522, 0)
Evolution du nombre d'états dans les séries de Taylor
Équation
Comme l'énergie E_r est bien inférieure à l'énergie totale E_0, le logarithme du nombre d'états peut être développé autour de l'énergie E_r comme suit :
\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots
Étant donné que la dérivée du logarithme du nombre d'états est égale à la fonction bêta :
\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0
Il en résulte que, dans une première approximation avec ,
| \ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r |
.
ID:(3523, 0)
Équation pour la probabilité d'état r
Équation
Si nous substituons l'expression
| \ln\Omega_h(E_0-E_r)=\ln\Omega_h(E_0)-\beta E_r |
avec
dans l'équation de probabilité avec ,
| P_r=C_h\Omega_h(E_0-E_r) |
,
nous obtenons avec la probabilité
| P_r=Ce^{-\beta E_r} |
,
où C est une constante à déterminer en utilisant la condition de normalisation.
L'expression e^{-\beta E} est appelée le facteur de Boltzmann, et la distribution qu'elle décrit est connue sous le nom de distribution canonique.
ID:(3524, 0)
Constante de normalisation
Équation
Sous la condition de normalisation avec ,
| \sum_rP_r=1 |
,
on obtient que la constante de normalisation C est égale à :
| C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r} |
.
ID:(3525, 0)
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Video
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