Supposons qu'un syst me avec une nergie $E_r$ soit en contact avec un r servoir thermique ayant une nergie $E'$.

On entend par r servoir thermique un syst me dont la temp rature reste constante. Une fa on d'obtenir cela est d'utiliser un r servoir de grande taille (comme un bain-marie).

Si les deux syst mes sont isol s de leur environnement, la somme de leurs nergies restera constante, ce qui peut s'exprimer avec de la mani re suivante :

.

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La probabilit de trouver le syst me dans un tat o il a une nergie $E_r$, tandis que le r servoir a une nergie $E' = E_0 - E_r$, est d finie comme

$P_r = C \cdot \Omega_r(E_r) \cdot \Omega'(E')$

o $C$ est une constante ajust e pour garantir que la probabilit soit normalis e.

Puisque $P_r$ repr sente la probabilit de trouver le syst me dans un tat particulier $r$, le nombre d' tats dans l' tat $r$ est gal un. En d'autres termes, cela signifie que

$\Omega_r(E_r) = 1$

Par cons quent, la probabilit peut tre exprim e par rapport comme suit :

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Si nous additionnons les probabilit s de chaque tat $r$, le r sultat devrait tre gal un. Cela signifie qu'il est normalis avec la :

Ceci quivaut dire que le syst me doit n cessairement se trouver dans l'un des tats possibles.

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Comme l' nergie $E_r$ est bien inf rieure l' nergie totale $E_0$, le logarithme du nombre d' tats peut tre d velopp autour de l' nergie $E_r$ comme suit :

$\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0E_r\ldots$

tant donn que la d riv e du logarithme du nombre d' tats est gale la fonction b ta :

$\beta=\left.\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}\right\vert_0$

Il en r sulte que, dans une premi re approximation avec ,

.

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Si nous substituons l'expression

avec

dans l' quation de probabilit avec ,

,

nous obtenons avec la probabilit

,

o $C$ est une constante d terminer en utilisant la condition de normalisation.

L'expression $e^{-\beta E}$ est appel e le facteur de Boltzmann, et la distribution qu'elle d crit est connue sous le nom de distribution canonique.

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Sous la condition de normalisation avec ,

,

on obtient que la constante de normalisation $C$ est gale :

.

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