Podemos estudar o que acontece quando colocamos dois sistemas de part culas em contato, de modo que possam trocar energia, mas n o part culas.

Vamos tamb m supor que o sistema est isolado do ambiente, o que significa que possui uma energia total de $E_0$.

Suponhamos que inicialmente o primeiro sistema tenha uma energia de $E$, o que est associado a $\Omega(E)$ estados.

Uma vez que a energia total $E_0$, o segundo sistema s pode ter energia $E_0-E$ e um n mero de estados associados $\Omega(E_0-E)$.

Quando os colocamos em contato, eles podem trocar energia at atingir algum equil brio. Nesse sentido, o valor de $E$ vai variar, e a probabilidade de encontrar os sistemas de modo que o primeiro tenha um valor de $E$ tamb m vai variar.

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Cada sistema $\Omega$ possui um n mero de estados poss veis que depende de sua energia $E$. Portanto, se o sistema que estamos estudando tem uma energia $E$, o n mero de estados poss veis ser $\Omega(E)$.

O sistema em estudo est em contato com um reservat rio que fornece energia $E$, de modo que a energia total $E_0$ menos a do sistema imerso, $E$. Portanto, o reservat rio possui $\Omega(E_0 - E)$ estados poss veis. A probabilidade de encontrar o sistema total com uma energia $E$ no sistema imerso expressa como o produto do n mero de estados com list:

onde $C$ uma constante de normaliza o. A energia $E$ ser aquela para a qual a probabilidade m xima.

Quando comparamos como o n mero de estados varia com a energia $E$, observamos que o comportamento do sistema e do reservat rio oposto:

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Isso ocorre porque, medida que a energia aumenta, a energia do reservat rio diminui, o que por sua vez reduz o n mero de estados aos quais ele pode acessar.

Quando multiplicamos o n mero de casos, obtemos uma fun o com um pico muito pronunciado.

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O sistema tem uma probabilidade maior de ser encontrado na energia onde ocorre o pico da curva de probabilidade.

Se a probabilidade de dois sistemas isolados, cada um com uma energia total de $E_0$ e sendo a energia de um dos sistemas $E$, dada por list=3434

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial E}=\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}\Omega'+\Omega\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E}=0$

Se dividirmos a express o por $\Omega\Omega'$ e substituirmos a diferen a de energia $E_0-E$ por $E'$, podemos reformular a condi o para determinar a situa o mais prov vel da seguinte forma:

Se existe uma probabilidade $P(E)$ de encontrar

$\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega'}\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}=0$

O sinal negativo resulta da mudan a de vari veis, j que com

$E'=E_0-E$

a derivada em rela o a $E'$ resulta em list

Quando um sistema est em contato com um reservat rio de energia $E_0$, prov vel encontr -lo com uma energia $E$ para a qual a probabilidade com list=3434

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Levando a:

$\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} + \displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} = 0$

Se fizermos uma mudan a de vari vel:

$E' = E_0 - E$

Obtemos a condi o de equil brio com list:

A condi o de equil brio de um sistema em contato com um reservat rio expressa com list=3441

Isso nos permite introduzir uma fun o $\beta$ com list da seguinte forma:

Esta fun o caracteriza o estado do sistema e se torna relevante quando o sistema est em equil brio com outro sistema.

Quando um sistema est em contato com um reservat rio de energia $E_0$, prov vel encontr -lo com uma energia $E$ para a qual, com list=3434, a probabilidade

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Assim, com lista=3441, obtemos

$E' = E_0 - E$

obtemos a condi o de equil brio com list:

Se assumirmos que encontramos o sistema na energia para a qual a probabilidade m xima, podemos associar esse fato situa o de equil brio de um sistema, onde a probabilidade m xima.

Por outro lado, sabemos que dois sistemas est o em equil brio t rmico quando suas temperaturas s o iguais. Portanto, o fato de que as fun es $\beta$ sejam iguais nos sugere que $\beta$ est relacionado temperatura.

Uma vez que as unidades de $\beta$ s o o rec proco da energia, podemos defini-lo da seguinte forma com list:

Ao introduzir a rela o com list=3437

a condi o de equil brio com list=3436