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Para modelar sistemas usando a mecânica estatística, é necessário investigar como os parâmetros que descrevem o sistema macroscópico podem influenciar os conjuntos estatísticos. No caso de partículas, a temperatura é estabelecida como um parâmetro que reflete se os sistemas estão em equilíbrio, mantendo suas energias em um nível constante.

>Modelo

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Podemos estudar o que acontece quando colocamos dois sistemas de partículas em contato, de modo que possam trocar energia, mas não partículas.

Vamos também supor que o sistema está isolado do ambiente, o que significa que possui uma energia total de $E_0$.

Suponhamos que inicialmente o primeiro sistema tenha uma energia de $E$, o que está associado a $\Omega(E)$ estados.

Uma vez que a energia total é $E_0$, o segundo sistema só pode ter energia $E_0-E$ e um número de estados associados $\Omega(E_0-E)$.

Quando os colocamos em contato, eles podem trocar energia até atingir algum equilíbrio. Nesse sentido, o valor de $E$ vai variar, e a probabilidade de encontrar os sistemas de modo que o primeiro tenha um valor de $E$ também vai variar.

ID:(11541, 0)

Equação

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Cada sistema $\Omega$ possui um número de estados possíveis que depende de sua energia $E$. Portanto, se o sistema que estamos estudando tem uma energia $E$, o número de estados possíveis será $\Omega(E)$.

O sistema em estudo está em contato com um reservatório que fornece energia $E$, de modo que a energia total é $E_0$ menos a do sistema imerso, $E$. Portanto, o reservatório possui $\Omega(E_0 - E)$ estados possíveis. A probabilidade de encontrar o sistema total com uma energia $E$ no sistema imerso é expressa como o produto do número de estados com :

onde $C$ é uma constante de normalização. A energia $E$ será aquela para a qual a probabilidade é máxima.

ID:(3434, 0)

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Quando comparamos como o número de estados varia com a energia $E$, observamos que o comportamento do sistema e do reservatório é oposto:

Isso ocorre porque, à medida que a energia aumenta, a energia do reservatório diminui, o que por sua vez reduz o número de estados aos quais ele pode acessar.

ID:(11542, 0)

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Quando multiplicamos o número de casos, obtemos uma função com um pico muito pronunciado.

O sistema tem uma probabilidade maior de ser encontrado na energia onde ocorre o pico da curva de probabilidade.

ID:(11543, 0)

Equação

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Se a probabilidade de dois sistemas isolados, cada um com uma energia total de $E_0$ e sendo a energia de um dos sistemas $E$, é dada por

Podemos estimar a energia provável $E$ na qual eles serão encontrados procurando o máximo da probabilidade. Para fazer isso, precisamos derivar em relação à energia $E$ e igualar a derivada a zero.

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial E}=\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}\Omega'+\Omega\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E}=0$

Se dividirmos a expressão por $\Omega\Omega'$ e substituirmos a diferença de energia $E_0-E$ por $E'$, podemos reformular a condição para determinar a situação mais provável da seguinte forma:

Se existe uma probabilidade $P(E)$ de encontrar

$\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega'}\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}=0$

O sinal negativo resulta da mudança de variáveis, já que com

$E'=E_0-E$

a derivada em relação a $E'$ resulta em

ID:(4806, 0)

Equação

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Quando um sistema está em contato com um reservatório de energia $E_0$, é provável encontrá-lo com uma energia $E$ para a qual a probabilidade com

atinge o seu máximo. A energia pode ser determinada derivando esta expressão em relação à energia $E$ e igualando-a a zero. Isso é equivalente a derivar o logaritmo da probabilidade:

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Levando a:

$\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} + \displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} = 0$

Se fizermos uma mudança de variável:

$E' = E_0 - E$

Obtemos a condição de equilíbrio com :

ID:(3441, 0)

Equação

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A condição de equilíbrio de um sistema em contato com um reservatório é expressa com

Isso nos permite introduzir uma função $\beta$ com da seguinte forma:

Esta função caracteriza o estado do sistema e se torna relevante quando o sistema está em equilíbrio com outro sistema.

ID:(3435, 0)

Equação

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Quando um sistema está em contato com um reservatório de energia $E_0$, é provável encontrá-lo com uma energia $E$ para a qual, com , a probabilidade

atinge o seu máximo. A energia pode ser determinada derivando esta expressão em relação à energia $E$ e igualando-a a zero. Isso é equivalente a derivar o logaritmo da probabilidade:

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Assim, com , obtemos

Se realizarmos uma mudança de variável

$E' = E_0 - E$

obtemos a condição de equilíbrio com :

.

ID:(3436, 0)

Equação

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Se assumirmos que encontramos o sistema na energia para a qual a probabilidade é máxima, podemos associar esse fato à situação de equilíbrio de um sistema, onde a probabilidade é máxima.

Por outro lado, sabemos que dois sistemas estão em equilíbrio térmico quando suas temperaturas são iguais. Portanto, o fato de que as funções $\beta$ sejam iguais nos sugere que $\beta$ está relacionado à temperatura.

Uma vez que as unidades de $\beta$ são o recíproco da energia, podemos defini-lo da seguinte forma com :

ID:(3437, 0)

Equação

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Ao introduzir a relação com

a condição de equilíbrio com

é simplificada para apenas

.

ID:(3438, 0)

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Video

Vídeo: Condição de equilíbrio e temperatura