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Modelo de Ising
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El modelo de Ising crea un algoritmo iterativo para resolver el problema de la magnetización permanente. En el presente capitulo se muestra una versión simplificada. La verdadera, que fue la tesis de Ising, muestra que una cadena unidimensional no puede mantener un campo magnético no existiendo la magnetización permanente. Sin embargo resulte también el problema para un sistema bi-dimensional y muestra que en ese caso si existe una magnetización permanente.
ID:(540, 0)
Modelo de Ising
Ecuación
Uno de los problemas de calcular la función partición es el hecho que los spins están en forma de vectores. Una simplificación, que se denomina el modelo de Ising, es reemplazar el producto punto por una simple multiplicación de las componentes
| $ E =- g\gamma H \displaystyle\sum_{ j = 1}^ N S_j -2 J \displaystyle\sum_{ j =1}^ N \displaystyle\sum_{ k = 1}^ n S_j S_k $ |
ID:(3915, 0)
Aproximación de campo medio
Ecuación
Para poder calcular la energía se puede introducir el concepto de campo medio para el m-esimo spin. Para ello basta sumar solo en los
$E_j=-g\gamma H S_j-2J\displaystyle\sum_{k=1}^n S_jS_k$
\\n\\nen donde la energía total es\\n\\n
$E=\displaystyle\sum_{j=1}^N E_j$
\\n\\nLa energía del j-esimo spin se puede escribir en función de un campo efectivo\\n\\n
$E_j=-g\gamma H_{eff}S_j$
con el campo efectivo con
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k $ |
ID:(4836, 0)
Spin medio
Ecuación
En el caso de equilibro térmico los spines del ferro-magneto tendrán un spin promedio igual a\\n\\n
$\bar{S}=\displaystyle\frac{e^{\beta g\gamma \bar{H}}-e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}{e^{\beta g\gamma \bar{H}}+e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}$
ya que pueden tener el spin ya sea en posición up (+1) o down (-1). Escribiendo los exponenciales en función de la función hiperbólica se tiene que el spin medio es con
| $ \bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$ |
ID:(4837, 0)
Campo medio con spin medio
Ecuación
Si se aproxima el campo medio es con campo magnético efectivo $kg/C s$, campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$ es
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k $ |
\\n\\npor el spin medio\\n\\n
$\displaystyle\sum_{k=1}^nS_k=\bar{S}$
se obtiene una estimación del campo medio con campo magnético efectivo $kg/C s$, campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$ de la forma
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S} $ |
ID:(4838, 0)
Ecuación para el spin medio
Ecuación
Con el campo medio en función del spin medio con campo magnético efectivo $kg/C s$, campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$ es
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S} $ |
y la ecuación para el spin medio con campo magnético medio $C/m s$, factor $\beta$ $C m^2/s$, factor g $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$ |
se obtiene una ecuación para el calculo del spin medio con campo magnético medio $C/m s$, factor $\beta$ $C m^2/s$, factor g $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$ |
ID:(4839, 0)
Temperatura de Ising
Ecuación
Para resolver la ecuación de spin medio se puede introducir una temperatura crítica que con es
| $ T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$ |
ID:(4840, 0)
Campo Magnético de Ising
Ecuación
Para resolver la ecuación de spin medio se puede introducir un campo magnético crítica que con es
| $ H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$ |
ID:(4841, 0)
Ecuación del modelo de Ising
Ecuación
Con la temperatura crítica con constante de acoplamiento $1/kg m^2$, constante de Boltzmann $J/K$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y temperatura de Ising $K$
| $ T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$ |
y el campo crítico con campo magnético de Ising $C/m s$, constante de Boltzmann $J/K$, factor g $-$, radio giroscópico $C/kg$ y temperatura de Ising $K$
| $ H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$ |
la ecuación para el calculo del spin medio con campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor $\beta$ $C m^2/s$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$ |
se puede escribir como con campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor $\beta$ $C m^2/s$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$ |
ID:(4842, 0)
Solución iterativa del modelo de Ising
Ecuación
La ecuación del modelo de Ising es con campo magnético de Ising $C/m s$, campo magnético externo $C/m s$, spin medio $kg m^2/s$, temperatura $K$ y temperatura de Ising $K$
| $ \bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$ |
se puede resolver iterando la ecuación con campo magnético de Ising $C/m s$, campo magnético externo $C/m s$, spin medio $kg m^2/s$, temperatura $K$ y temperatura de Ising $K$
| $ \bar{S}_{k+1} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_c }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_c }+ \bar{S}_k \right)\right)$ |
ID:(4843, 0)
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