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Modelo de Ising

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El modelo de Ising crea un algoritmo iterativo para resolver el problema de la magnetización permanente. En el presente capitulo se muestra una versión simplificada. La verdadera, que fue la tesis de Ising, muestra que una cadena unidimensional no puede mantener un campo magnético no existiendo la magnetización permanente. Sin embargo resulte también el problema para un sistema bi-dimensional y muestra que en ese caso si existe una magnetización permanente.

>Modelo

ID:(540, 0)



Modelo de Ising

Ecuación

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Uno de los problemas de calcular la función partición es el hecho que los spins están en forma de vectores. Una simplificación, que se denomina el modelo de Ising, es reemplazar el producto punto por una simple multiplicación de las componentes \hat{z} de los vectores. Si adicionalmente existe un flujo magnético H la energía del sistema sera con de la forma

E =- g\gamma H \displaystyle\sum_{ j = 1}^ N S_j -2 J \displaystyle\sum_{ j =1}^ N \displaystyle\sum_{ k = 1}^ n S_j S_k

ID:(3915, 0)



Aproximación de campo medio

Ecuación

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Para poder calcular la energía se puede introducir el concepto de campo medio para el m-esimo spin. Para ello basta sumar solo en los z vecinos más próximos obteniéndose para el spin j la energía\\n\\n

E_j=-g\gamma H S_j-2J\displaystyle\sum_{k=1}^n S_jS_k

\\n\\nen donde la energía total es\\n\\n

E=\displaystyle\sum_{j=1}^N E_j

\\n\\nLa energía del j-esimo spin se puede escribir en función de un campo efectivo\\n\\n

E_j=-g\gamma H_{eff}S_j



con el campo efectivo con

H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k

ID:(4836, 0)



Spin medio

Ecuación

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En el caso de equilibro térmico los spines del ferro-magneto tendrán un spin promedio igual a\\n\\n

\bar{S}=\displaystyle\frac{e^{\beta g\gamma \bar{H}}-e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}{e^{\beta g\gamma \bar{H}}+e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}



ya que pueden tener el spin ya sea en posición up (+1) o down (-1). Escribiendo los exponenciales en función de la función hiperbólica se tiene que el spin medio es con

\bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )

ID:(4837, 0)



Campo medio con spin medio

Ecuación

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Si se aproxima el campo medio es con campo magnético efectivo kg/C s, campo magnético externo C/m s, constante de acoplamiento 1/kg m^2, factor g -, números de vecinos con que existe interacción -, radio giroscópico C/kg y spin de la partícula k kg m^2/s es

H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k

\\n\\npor el spin medio\\n\\n

\displaystyle\sum_{k=1}^nS_k=\bar{S}



se obtiene una estimación del campo medio con campo magnético efectivo kg/C s, campo magnético externo C/m s, constante de acoplamiento 1/kg m^2, factor g -, números de vecinos con que existe interacción -, radio giroscópico C/kg y spin de la partícula k kg m^2/s de la forma

H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S}

ID:(4838, 0)



Ecuación para el spin medio

Ecuación

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Con el campo medio en función del spin medio con campo magnético efectivo kg/C s, campo magnético externo C/m s, constante de acoplamiento 1/kg m^2, factor g -, radio giroscópico C/kg y spin medio kg m^2/s es

H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S}



y la ecuación para el spin medio con campo magnético medio C/m s, factor \beta C m^2/s, factor g -, radio giroscópico C/kg y spin medio kg m^2/s

\bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )



se obtiene una ecuación para el calculo del spin medio con campo magnético medio C/m s, factor \beta C m^2/s, factor g -, radio giroscópico C/kg y spin medio kg m^2/s

\bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)

ID:(4839, 0)



Temperatura de Ising

Ecuación

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Para resolver la ecuación de spin medio se puede introducir una temperatura crítica que con es

T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }

ID:(4840, 0)



Campo Magnético de Ising

Ecuación

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Para resolver la ecuación de spin medio se puede introducir un campo magnético crítica que con es

H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }

ID:(4841, 0)



Ecuación del modelo de Ising

Ecuación

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Con la temperatura crítica con constante de acoplamiento 1/kg m^2, constante de Boltzmann J/K, números de vecinos con que existe interacción - y temperatura de Ising K

T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }



y el campo crítico con campo magnético de Ising C/m s, constante de Boltzmann J/K, factor g -, radio giroscópico C/kg y temperatura de Ising K

H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }



la ecuación para el calculo del spin medio con campo magnético externo C/m s, constante de acoplamiento 1/kg m^2, factor \beta C m^2/s, factor g -, números de vecinos con que existe interacción -, radio giroscópico C/kg y spin medio kg m^2/s

\bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)



se puede escribir como con campo magnético externo C/m s, constante de acoplamiento 1/kg m^2, factor \beta C m^2/s, factor g -, números de vecinos con que existe interacción -, radio giroscópico C/kg y spin medio kg m^2/s

\bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)

ID:(4842, 0)



Solución iterativa del modelo de Ising

Ecuación

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La ecuación del modelo de Ising es con campo magnético de Ising C/m s, campo magnético externo C/m s, spin medio kg m^2/s, temperatura K y temperatura de Ising K

\bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)



se puede resolver iterando la ecuación con campo magnético de Ising C/m s, campo magnético externo C/m s, spin medio kg m^2/s, temperatura K y temperatura de Ising K

\bar{S}_{k+1} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_c }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_c }+ \bar{S}_k \right)\right)

ID:(4843, 0)



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