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Modelo de Ising

Storyboard

Isings Modell erstellt einen iterativen Algorithmus, um das Problem der Permanentmagnetisierung zu lösen. Eine vereinfachte Version wird in diesem Kapitel gezeigt. Die reale, die Isings These war, zeigt, dass eine eindimensionale Kette ein Magnetfeld ohne permanente Magnetisierung nicht aufrechterhalten kann. Es ist jedoch auch das Problem für ein zweidimensionales System und zeigt, dass in diesem Fall eine Permanentmagnetisierung vorliegt.

>Modell

ID:(540, 0)

Ising Modell

Gleichung

>Top, >Modell

Uno de los problemas de calcular la función partición es el hecho que los spins están en forma de vectores. Una simplificación, que se denomina el modelo de Ising, es reemplazar el producto punto por una simple multiplicación de las componentes \hat{z} de los vectores. Si adicionalmente existe un flujo magnético H la energía del sistema sera con de la forma

$E =- g\gamma H \displaystyle\sum_{ j = 1}^ N S_j -2 J \displaystyle\sum_{ j =1}^ N \displaystyle\sum_{ k = 1}^ n S_j S_k$

ID:(3915, 0)

Aproximación de Campo Medio

Gleichung

>Top, >Modell

Para poder calcular la energía se puede introducir el concepto de campo medio para el m-esimo spin. Para ello basta sumar solo en los z vecinos más próximos obteniéndose para el spin j la energía\\n\\n

$E_j=-g\gamma H S_j-2J\displaystyle\sum_{k=1}^n S_jS_k$

\\n\\nen donde la energía total es\\n\\n

$E=\displaystyle\sum_{j=1}^N E_j$

\\n\\nLa energía del j-esimo spin se puede escribir en función de un campo efectivo\\n\\n

$E_j=-g\gamma H_{eff}S_j$

con el campo efectivo con

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k$

ID:(4836, 0)

Spin Medio

Gleichung

>Top, >Modell

En el caso de equilibro térmico los spines del ferro-magneto tendrán un spin promedio igual a\\n\\n

$\bar{S}=\displaystyle\frac{e^{\beta g\gamma \bar{H}}-e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}{e^{\beta g\gamma \bar{H}}+e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}$

ya que pueden tener el spin ya sea en posición up (+1) o down (-1). Escribiendo los exponenciales en función de la función hiperbólica se tiene que el spin medio es con

$\bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$

ID:(4837, 0)

Campo Medio con Spin medio

Gleichung

>Top, >Modell

Si se aproxima el campo medio es con campo magnético efectivo $kg/C s$ , campo magnético externo $C/m s$ , constante de acoplamiento $1/kg m^2$ , factor g $-$ , números de vecinos con que existe interacción $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$ es

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k$

\\n\\npor el spin medio\\n\\n

$\displaystyle\sum_{k=1}^nS_k=\bar{S}$

se obtiene una estimación del campo medio con campo magnético efectivo $kg/C s$ , campo magnético externo $C/m s$ , constante de acoplamiento $1/kg m^2$ , factor g $-$ , números de vecinos con que existe interacción $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$ de la forma

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S}$

ID:(4838, 0)

Ecuación para el Spin medio

Gleichung

>Top, >Modell

Con el campo medio en función del spin medio con campo magnético efectivo $kg/C s$ , campo magnético externo $C/m s$ , constante de acoplamiento $1/kg m^2$ , factor g $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und spin medio $kg m^2/s$ es

$H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S}$

y la ecuación para el spin medio con campo magnético medio $C/m s$ , factor $\beta$ $C m^2/s$ , factor g $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und spin medio $kg m^2/s$

$\bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$

se obtiene una ecuación para el calculo del spin medio con campo magnético medio $C/m s$ , factor $\beta$ $C m^2/s$ , factor g $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und spin medio $kg m^2/s$

$\bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$

ID:(4839, 0)

Temperatura de Ising

Gleichung

>Top, >Modell

Para resolver la ecuación de spin medio se puede introducir una temperatura crítica que con es

$T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$

ID:(4840, 0)

Campo Magnético de Ising

Gleichung

>Top, >Modell

Para resolver la ecuación de spin medio se puede introducir un campo magnético crítica que con es

$H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$

ID:(4841, 0)

Ecuación del Modelo de Ising

Gleichung

>Top, >Modell

Con la temperatura crítica con constante de acoplamiento $1/kg m^2$ , constante de Boltzmann $J/K$ , números de vecinos con que existe interacción $-$ und temperatura de Ising $K$

$T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$

y el campo crítico con campo magnético de Ising $C/m s$ , constante de Boltzmann $J/K$ , factor g $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und temperatura de Ising $K$

$H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$

la ecuación para el calculo del spin medio con campo magnético externo $C/m s$ , constante de acoplamiento $1/kg m^2$ , factor $\beta$ $C m^2/s$ , factor g $-$ , números de vecinos con que existe interacción $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und spin medio $kg m^2/s$

$\bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$

se puede escribir como con campo magnético externo $C/m s$ , constante de acoplamiento $1/kg m^2$ , factor $\beta$ $C m^2/s$ , factor g $-$ , números de vecinos con que existe interacción $-$ , radio giroscópico $C/kg$ und spin medio $kg m^2/s$

$\bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$

ID:(4842, 0)

Solución iterativa del Modelo de Ising

Gleichung

>Top, >Modell

La ecuación del modelo de Ising es con campo magnético de Ising $C/m s$ , campo magnético externo $C/m s$ , spin medio $kg m^2/s$ , temperatura $K$ und temperatura de Ising $K$

$\bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$

se puede resolver iterando la ecuación con campo magnético de Ising $C/m s$ , campo magnético externo $C/m s$ , spin medio $kg m^2/s$ , temperatura $K$ und temperatura de Ising $K$

$\bar{S}_{k+1} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_c }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_c }+ \bar{S}_k \right)\right)$

ID:(4843, 0)

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Video

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