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El modelo de Weiss asumen que se puede definir un campo medio en que se encuentra cada spin y que es formado del promedio de los spines que lo rodena. De esta forma es relativamente simple calcular la función de partición y determinar como se magnetiza el solido.

>Modelo

ID:(539, 0)

Ecuación

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El hamiltoneando se puede escribir como la suma de hamiltoneanos en torno de un átomo j es con como

con lo que la parte de interacción queda como una corrección que se comporta como una campo magnético generado por los vecinos.

Por ello se puede definir un campo medio con

El factor 1/2 corrige el hecho que cada dupla se cuenta dos veces.

ID:(3917, 0)

Ecuación

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Con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$ la aproximación

\\n\\nel hamiltoneano \\n\\n

${\cal H}_j=-\left(g\gamma H_0+2J\displaystyle\sum_{k=1}^nS_{kz}\right)S_{jz}$

se puede estimar con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$ como

ID:(3918, 0)

Ecuación

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En el caso de un hamiltoenano con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, hamiltoneano de la partícula $j$ $J$ y radio giroscópico $C/kg$ del tipo

Como el spin es con

\\n\\nse tiene que con el magneton de Bohr\\n\\n

$\mu_B=\gamma\hbar$

y con que la energía es

ID:(3919, 0)

Ecuación

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Con los niveles de energía con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, energía del estado $m$ de una partícula en el campo externo y medio $J$, factor g $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico $-$ iguales a

\\n\\ny S_{zj} tomando valores en el rango [-s,s] se tiene que la función partición para el campo magnético total\\n\\n

$H=H_0+\bar{H}$

\\n\\nes\\n\\n

$Z_W=\displaystyle\sum_{m=-s}^{s}e^{-\eta m}$

\\n\\ncon\\n\\n

$\eta = \beta g \mu_BH$

que se puede sumar y arroja con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, energía del estado $m$ de una partícula en el campo externo y medio $J$, factor g $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico $-$

ID:(3920, 0)

Ecuación

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Las ecuaciones dependen del factor\\n\\n

$\eta = \beta g\mu_BH$

\\n\\nque con la definición de \beta\\n\\n

$\beta=\displaystyle\frac{1}{k_BT}$

se obtiene con

ID:(3921, 0)

Ecuación

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El momento magnético medio corresponde a la fuerza generalizada asociada a la variable campo magnético. Por ello\\n\\n

$\bar{S}_{jz}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z_W}{\partial H}$

\\n\\nlo que en este caso da\\n\\n

$\bar{S}_{jz}=g\mu_B[(S+\frac{1}{2})\coth(S+\frac{1}{2})\eta-\frac{1}{2}\coth\frac{1}{2}\eta]$

El factor de las funciones del cotangente hiperbólico se puede escribir como la función de Brillouin B_S(\eta) quedando el momento magnético medio con como

ID:(3922, 0)

Ecuación

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La definición de la función de Brillouin se escribe con y es:

ID:(3923, 0)

Ecuación

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El problema del calculo del momento magnético con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$

es que \eta depende del campo \bar{H} que desconocemos. Sin embargo esta misma ecuación se puede emplear para calcular \bar{H} ya que en la misma definición de \bar{H} se estableció que con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$

\\n\\nSi esta expresión se reescribe con la definición de \eta\\n\\n

$\eta =\displaystyle\frac{\mu_BB}{k_BT} =\displaystyle\frac{\mu_B}{k_BT}(H_0+\bar{H})$

se tiene finalmente una ecuación para calcular \eta en forma auto consistente y de la cual se puede calcular el \bar{H} con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor g $-$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$:

ID:(3924, 0)

Imagen

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La ecuación de Weiss

puede ser resuelta igualando la función de Brillouin del lado izquierdo con la recta del lado derecho. Esto es gráficamente

Hay que hacer notar que si la temperatura es demasiado alta existe una solución para el caso en que no hay campo magnético (des-magnetización).

ID:(13510, 0)

Ecuación

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Para que exista una solución de magnetización espontanea la pendiente de la función de Brillouin en el origen debe ser mayor que la de la recta o sea\\n\\n

$\displaystyle\frac{dB_s}{d\eta}>\displaystyle\frac{k_BT}{2nJs}$

\\n\\nComo la para valores pequeños de \eta (\eta\ll 1) la función de Brillouin es\\n\\n

$B_s(\eta)\sim \displaystyle\frac{1}{3}(s+1)\eta$

se tiene que existe magnetización espontanea siempre que la temperatura sea inferior a la llamada temperatura de Curie que con es

ID:(3925, 0)

Ecuación

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Para el caso \eta\ll 1 la función de Brillouin se puede escribir como\\n\\n

$B_S(\eta)=\displaystyle\frac{k_BT}{2JnS}\left(\eta-\displaystyle\frac{g\mu_BH_0}{k_BT}\right)$

\\n\\npor lo que la ecuación para el calculo del $\eta$ queda como\\n\\n

$2nJ\displaystyle\frac{1}{3}(S+1)S\eta=k_BT\left(\eta-\displaystyle\frac{g\mu_BH_0}{k_BT}\right)$

\\n\\nque con la expresión para la temperatura de Curie\\n\\n

$T_c=\displaystyle\frac{2nJS(S+1)}{3k_B}$

queda con como

ID:(3926, 0)

Ecuación

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La magnetización de calcula de la suma de los spines individuales multiplicados por la permeabilidad magnética.

Con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$ el spin de una partícula es

\\n\\npor lo que se obtiene que con la permeabilidad magnetica \mu es\\n\\n

$\bar{M} = \mu\displaystyle\sum_{j=1}^N \bar{S}_{jz}=\mu N g\mu_B s B_s(\eta)$

o sea con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$ se tiene que

ID:(12108, 0)

Ecuación

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La susceptibilidad magnética se calcula dividiendo la magnetización media que es con factor g $-$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magnetización $C/m s$, magneton de Bohr $C m^2/s$, numero cuántico máximo $-$, números de partículas $-$ y permeabilidad magnética $kg m/C^2$

y la relación para el \eta que con campo magnético $C/m s$, constante de Boltzmann $J/K$, factor $\eta$ $-$, factor g $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y temperatura $K$

\\n\\npor lo que si aplicamos la regla de la cadena en la derivada\\n\\n

$\chi=\displaystyle\frac{\partial \bar{M}}{\partial H}=\displaystyle\frac{\partial \bar{M}}{\partial \eta}\displaystyle\frac{\partial \eta}{\partial H}=g\mu\mu_B s N\displaystyle\frac{\partial B_s(\eta)}{\partial \eta}\displaystyle\frac{\partial \eta}{\partial H}$

resulta con campo magnético $C/m s$, constante de Boltzmann $J/K$, factor $\eta$ $-$, factor g $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y temperatura $K$ que la susceptibilidad es

ID:(3927, 0)

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Video

Video: Modelo de Weiss