Función de Partición Macrocanónica

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>Modelo

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Gran función partición

Ecuación

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Si la función partición para la distribución canónica con un número fijo de partículas N es con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$

donde r son los estados posibles. Para definir la gran función partición debemos sumar sobre el numero de partículas considerando que la expresión cumple la distribución gran canónica e^{-\alpha N}. Por ello se tiene que con

${\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$

ID:(3654, 0)

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Función partición

Ecuación

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La energía promedio se calcula con respecto a

$\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_re^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$

y se puede expresar de la siguiente manera:

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{\sum_re^{-\beta E_r}}\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\sum_re^{-\beta E_r}$

Esto puede resumirse como

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}$

donde se introduce la llamada función de partición con :

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$

La letra $Z$ proviene de la palabra alemana Zustandsumme (Zustand=Estado, Summe=suma).

La función de partición es una función generadora, lo que significa que genera otras funciones que tienen significado físico.

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Energía media

Ecuación

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Con la gran función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ y numero del estado $r$ $J$

${\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$

se puede calcular nuevamente la energía interna (media) como la derivada en beta del logaritmo de la gran función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ y numero del estado $r$ $J$

$U =-\displaystyle\frac{\partial\ln{ \cal Z }}{\partial \beta }$

ID:(3652, 0)

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Número de partículas

Ecuación

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En analogía a como se calcula la energía media derivando el logaritmo de la función partición con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ y numero del estado $r$ $J$

${\cal Z} =\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_r e^{- \beta E_r - \alpha N }$

en beta se puede calcular el número medio derivando respecto de alfa con beta $1/J$, energía del estado $r$ $J$, factor alpha $-$, función partición distribución gran-canónica $-$, numero de partículas $-$ y numero del estado $r$ $J$:

$\bar{N} =-\displaystyle\frac{ \partial \cal{\ln Z} }{ \partial \alpha }$

ID:(3645, 0)

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