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Partícula en una caja y esfera

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Cuando consideramos una partícula dentro de un volumen, ya sea una caja o una esfera, podemos calcular la probabilidad de encontrar la partícula en un intervalo de posiciones.

>Modelo

ID:(433, 0)

Espacio de fase de una partícula en una caja 1D

Definición

Considere una caja de largo L en que una partícula rebota entre ambas paredes viajando con una momento p:

La pregunta es cual es la probabilidad de encontrarla en un rango dq.

ID:(11463, 0)

Espacio de fase de una partícula en una caja 2D

Imagen

Considere una caja en 2D de largo L_x y ancho L_y en que una partícula rebota entre ambas paredes viajando con una momento (p_x,p_y):

La pregunta es cual es la probabilidad de encontrarla en un cuadrilatero de ancho dq_x y alto dq_y.

ID:(11464, 0)

Espacio de fase de una partícula en una esfera 3D

Nota

Considere una esfera de radio R en que una partícula rebota entre ambas paredes viajando con una momento (p_x,p_y,p_z):

La pregunta es cual es la probabilidad de encontrarla en una capa de ancho dr.

ID:(11465, 0)

Probabilidad de encontrar la partícula en un radio $r$

Cita

La probabilidad de encontrar la partícula en un radio entre r y r+dr es con grosor de la capa esférica $m$, probabilidad partícula entre los radios $r$ y $r+dr$ $-$, radio de la esfera $m$ y radio en que se encuentra la partícula $m$

$ P(r) = \displaystyle\frac{3 r ^2}{ R ^3 } dr $

que se muestra en la siguiente gráfica:

ID:(11466, 0)

Partícula en una caja y esfera

Descripción

Cuando consideramos una partícula dentro de un volumen, ya sea una caja o una esfera, podemos calcular la probabilidad de encontrar la partícula en un intervalo de posiciones.

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$dq$

Elemento del largo de la caja

$dq_x$

dq_x

Elemento del largo de la caja en dirección x

$dq_y$

dq_y

Elemento del largo de la caja en dirección y

$dr$

Grosor de la capa esférica

$L$

Largo de la caja

$L_x$

L_x

Largo de la caja en dirección x

$L_y$

L_y

Largo de la caja en dirección y

$P(q_x,q_y)$

P_qxqy

Probabilidad partícula en el rectángulo de rangos en x e y

$P_q$

P_q

Probabilidad partícula entre $q$ y $q+dq$

$P(r)$

P_r

Probabilidad partícula entre los radios $r$ y $r+dr$

$R$

Radio de la esfera

$r$

Radio en que se encuentra la partícula

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$ P(r) = \displaystyle\frac{3 r ^2}{ R ^3 } dr $

P = 3 * r ^2 * dr / R ^3

(ID 11474)

$ P(q_x,q_y) = \displaystyle\frac{1}{ L_x L_y } dq_x dq_y $

P = dq_x * dq_y /( L_x * L_y )

(ID 11475)

$ P(q) = \displaystyle\frac{1}{ L } dq $

P_q = dq / L

(ID 11476)

Ejemplos

Espacio de fase de una part cula en una caja 1D

Considere una caja de largo L en que una part cula rebota entre ambas paredes viajando con una momento p:

La pregunta es cual es la probabilidad de encontrarla en un rango dq.

(ID 11463)

Probabilidad de encontrar la part cula en una posici n (1D)

Si se asume que la part cula puede estar en cualquiera posici n en una dimensiones, las posiciones posibles son aquellas descritas por el largo L de la caja.

Las posiciones favorables de encontrar la part cula entre q y q+dq y van a ser con igual a:

$ P(q) = \displaystyle\frac{1}{ L } dq $

Esto es solo valido si:

Toda posici n es igualmente probable.

lo que se puede generalizar en

Todo estado es igualmente probable.

Adicionalmente se debe notar que la probabilidad esta ntimamente ligada con el rango. Si el rango es nulo, tambi n lo es la probabilidad.

(ID 11476)

Espacio de fase de una part cula en una caja 2D

Considere una caja en 2D de largo L_x y ancho L_y en que una part cula rebota entre ambas paredes viajando con una momento (p_x,p_y):

La pregunta es cual es la probabilidad de encontrarla en un cuadrilatero de ancho dq_x y alto dq_y.

(ID 11464)

Probabilidad de encontrar la part cula en una posici n (2D)

Si se asume que la part cula puede estar en cualquiera posici n en dos dimensiones, las posiciones posibles son aquellas descritas por los largos de las aristas del rect ngulo.

Por ello la probabilidad de encontrar la part cula en el elemento rectangular son con igual a

$ P(q_x,q_y) = \displaystyle\frac{1}{ L_x L_y } dq_x dq_y $

(ID 11475)

Espacio de fase de una part cula en una esfera 3D

Considere una esfera de radio R en que una part cula rebota entre ambas paredes viajando con una momento (p_x,p_y,p_z):

La pregunta es cual es la probabilidad de encontrarla en una capa de ancho dr.

(ID 11465)

Probabilidad de encontrar la part cula en una posici n (3D)

Si se asume que la part cula puede estar en cualquiera posici n tridimensional dentro de una esfera de radio R, la probabilidad de que se encuentre en una capa con un radio r y r+dr sera igual al volumen de esta:\\n\\n

$4\pi r^2 dr$

\\n\\ndividido por el volumen de la esfera\\n\\n

$\displaystyle\frac{4\pi}{3} R^3$

por lo que con resulta la probabilidad igual a:

$ P(r) = \displaystyle\frac{3 r ^2}{ R ^3 } dr $

(ID 11474)

Probabilidad de encontrar la part cula en un radio $r$

La probabilidad de encontrar la part cula en un radio entre r y r+dr es con grosor de la capa esférica $m$, probabilidad partícula entre los radios $r$ y $r+dr$ $-$, radio de la esfera $m$ y radio en que se encuentra la partícula $m$

$ P(r) = \displaystyle\frac{3 r ^2}{ R ^3 } dr $

que se muestra en la siguiente gr fica:

(ID 11466)

ID:(433, 0)