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Particle in a box and sphere
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When we consider a particle within a volume, whether it's a box or a sphere, we can estimate the probability of finding the particle within a range of positions.

>Model

ID:(433, 0)


Phase space of a particle in a box 1D
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Consider a box of length L in which a particle bounces between both walls traveling with a p moment:

The question is what is the probability of finding it in a dq range.

ID:(11463, 0)


Probability of finding the particle in a position (1D)
Equation

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Si se asume que la partícula puede estar en cualquiera posición en una dimensiones, las posiciones posibles son aquellas descritas por el largo L de la caja.

Las posiciones favorables de encontrar la partícula entre q y q+dq y van a ser con igual a:

$ P(q) = \displaystyle\frac{1}{ L } dq $



Esto es solo valido si:

Toda posición es igualmente probable.



lo que se puede generalizar en

Todo estado es igualmente probable.

Adicionalmente se debe notar que la probabilidad esta íntimamente ligada con el rango. Si el rango es nulo, también lo es la probabilidad.

ID:(11476, 0)


Phase space of a particle in a box 2D
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Consider a 2D box of length L_x and width L_y in which a particle bounces between both walls traveling with a (p_x,p_y) moment:

The question is what is the probability of finding it in a quadrilateral of width dq_x and height dq_y.

ID:(11464, 0)


Probability of finding the particle in a position (2D)
Equation

>Top, >Model


Si se asume que la partícula puede estar en cualquiera posición en dos dimensiones, las posiciones posibles son aquellas descritas por los largos de las aristas del rectángulo.

Por ello la probabilidad de encontrar la partícula en el elemento rectangular son con igual a

$ P(q_x,q_y) = \displaystyle\frac{1}{ L_x L_y } dq_x dq_y $

ID:(11475, 0)


Phase space of a particle in a 3D sphere
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Consider a sphere of radius R in which a particle bounces between both walls traveling with a moment (p_x,p_y,p_z):

The question is what is the probability of finding it in a quadrilateral of width dq_x and height dq_y.

ID:(11465, 0)


Probability of finding the particle in a position (3D)
Equation

>Top, >Model


Si se asume que la partícula puede estar en cualquiera posición tridimensional dentro de una esfera de radio R, la probabilidad de que se encuentre en una capa con un radio r y r+dr sera igual al volumen de esta:\\n\\n

$4\pi r^2 dr$

\\n\\ndividido por el volumen de la esfera\\n\\n

$\displaystyle\frac{4\pi}{3} R^3$



por lo que con resulta la probabilidad igual a:

$ P(r) = \displaystyle\frac{3 r ^2}{ R ^3 } dr $

ID:(11474, 0)


Probability of finding the particle in a radius $r$
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La probabilidad de encontrar la partícula en un radio entre r y r+dr es con grosor de la capa esférica $m$, probabilidad partícula entre los radios $r$ y $r+dr$ $-$, radio de la esfera $m$ and radio en que se encuentra la partícula $m$

$ P(r) = \displaystyle\frac{3 r ^2}{ R ^3 } dr $



que se muestra en la siguiente gráfica:

ID:(11466, 0)


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Video: Particle in a box and sphere