Colisiones

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Dentro de la modelación de las partículas desplazándose entre las distintas celdas del espacio posición velocidades se deben considerar las múltiples colisiones entre estas.

>Modelo

ID:(1112, 0)

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Colisiones

Ecuación

>Top, >Modelo

En caso de que las partículas colisionan la función distribución f(\vec{x},\vec{v},t) variara y\\n\\n

$\displaystyle\frac{df}{dt}\neq 0$

Las colisiones lleva a que partículas de celdas vecinas sufran un colisión que las lleva a la celda en consideración y partículas dentro de la celda ser expulsadas. Lo primero lleva a un incremento de partículas f_{in} y el segundo a una perdida f_{out} por tiempo \tau. Por ello la ecuación de transporte de Boltzmann con colisiones puede escribirse como

$\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$

ID:(9077, 0)

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Cálculo de colisiones

Ecuación

>Top, >Modelo

En caso de colisiones se tiene que dos partículas con velocidad \vec{v}_1 y \vec{v}_2 colisionan pasando a tener las velocidades \vec{v}_1' y \vec{v}_2' respectivamente. La probabilidad de que las velocidades tras la colisión sean \vec{v}_1' y \vec{v}_2' se pueden calcular de la sección eficaz \sigma según\\n\\n

$\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')d\vec{v}_1'd\vec{v}_2')$

\\n\\nComo la probabilidad de que las partículas que entran a la colisión sean \vec{v}_1 y \vec{v}_2 se calculan con la función distribución\\n\\n

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)$

Como el desplazamiento ocurre en función de la velocidad relativa |\vec{v}_2-\vec{v}_1| se tiene finalmente que la variación de las partículas son

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

ID:(9078, 0)

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Colisiones que contribuyen

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de contribuciones a la celda se considerar

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

integrando sobre las velocidades que inician la colisión y una de las resultantes ya que la otra es la contribución a la función distribución local

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$

ID:(9079, 0)

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Colisiones que abandonan la celda

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso que abandonan la celda se considera

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

integrando sobre una de las velocidades que inician la colisión y ambas resultantes ya que la otra es la contribución a la función distribución local

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)$

ID:(9080, 0)

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Colisiones totales

Ecuación

>Top, >Modelo

Con el termino de las colisiones que contribuyen

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

y aquellas que reducen partículas

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$

se obtiene el factor total de intercambio

$\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}2d\vec{v}_12(f(\vec{x},\vec{v}2,t)f(\vec{x},\vec{v}_12,t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}2,\vec{v}_12)$

ID:(9081, 0)

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