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Limite continuo
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En base a las distintas propiedades que se pueden calcular con las distribuciones de velocidades se pueden también establecer ecuaciones diferenciales continuas que equivalen a las conocidads ecuación de continuidad, Navier Stokes y transporte de calor.

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ID:(1222, 0)


Introducción de la aceleración
Ecuación

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Como la masa es constante, la fuerza con es

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla_{\vec{x}} f+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}\cdot\nabla_{\vec{v}} f=0$



puede ser reemplazada por la masa por la aceleración quedando con la ecuación de Boltzmann de la forma

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

en que se incluyo un termino que representa las colisiones.

ID:(9709, 0)


Calculo de la densidad
Ecuación

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Si se multiplica la ecuación con

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



por la masa y se integra sobre las velocidades se obtiene con que

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

ID:(9710, 0)


Calculo de la densidad, primer termino
Ecuación

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El primer termino de la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



puede reescribirse con la expresión para la densidad con

$\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



con como

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v f=\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}$

ID:(9711, 0)


Calculo de la densidad, segundo termino
Ecuación

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El primer termino de la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



puede reescribirse con la expresión para la velocidad media con

$\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



con como

$m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_i)=\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})$

ID:(9712, 0)


Calculo de la densidad, tercer termino
Ecuación

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El tercer termino de la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

\\n\\npuede reescribirse como\\n\\n

$m\displaystyle\int_V d^3v \displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int_V d^3v\vec{\nabla}\cdot(\vec{a}f)$

\\n\\nlo que se puede reducir, mediante el teorema de la divergencia, a una integral sobre la superficie \\n\\n

$m\displaystyle\int_V d^3v\vec{\nabla}\cdot(\vec{a}f)=m\displaystyle\int_S dS\hat{n}\cdot(\vec{a}f)$



Como se puede asumir que la velocidad en el infinito es cero se tendrá con que el tercer termino es nulo:

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=0$

ID:(9713, 0)


Calculo de la densidad, termino colisiones
Ecuación

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Como la masa se conserva, el termino de colisiones en la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



debe ser nulo, o sea con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$

ID:(9714, 0)


Ecuación de continuidad
Ecuación

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Partiendo de las expresiones, con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v f=\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}$



con

$m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_i)=\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})$



con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=0$



y con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$



la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



se reduce a la ecuación de continuidad con :

$\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})=0$

ID:(9715, 0)


Calculo del momento
Ecuación

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Si se multiplica la ecuación con

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



por la masa y componente j de la velocidad y se integra sobre las velocidades se obtiene con que

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

ID:(9716, 0)


Calculo del momento, primer termino
Ecuación

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El primer termino de la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



puede reescribirse con la expresión para la velocidad media con

$\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



con como

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf=\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)$

ID:(9717, 0)


Calculo del momento, segundo termino
Ecuación

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El segundo termino de la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



involucra un tensor del promedio del producto de las velocidades con :

$\rho\langle v_jv_i\rangle\equiv m\displaystyle\int d^3v v_jv_if$

ID:(9718, 0)


Velocidad de las partículas en el sistema local
Ecuación

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La velocidad \vec{v} de las partículas se define respecto de un sistema de coordenadas fijo en el laboratorio. Como el flujo se desplaza a la velocidad \vec{u} se tiene que la velocidad de las partículas respecto de un sistema de coordenadas que se desplaza con el flujo es

$\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}$

ID:(9720, 0)


Valor medio de la velocidad de las partículas en el sistema local
Ecuación

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Por definición de la velocidad media de las partículas es igual a la velocidad del flujo:\\n\\n

$\langle\vec{v}\rangle=\vec{u}$



y por ello la velocidad de las partículas en el sistema local con es

$\langle\vec{w}\rangle=\langle\vec{v}\rangle-\langle\vec{u}\rangle=\langle\vec{v}\rangle-\vec{u}=0$

ID:(9721, 0)


Tensor del promedio del producto de las velocidades
Ecuación

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Con la definición de la velocidad en el sistema de coordenadas locales \vec{w} definido con mediante

$\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}$



se puede reescribir el tensor del promedio del producto de las velocidades con como

$m\displaystyle\int d^3v v_jv_if=\rho\langle v_jv_i\rangle=\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle$

ID:(9722, 0)


Calculo del momento, tercer termino
Ecuación

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El tercer termino de la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

\\n\\ncorresponde a la derivada temporal de la densidad por el producto de la velocidad y la derivada de la función de distribución\\n\\n

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_i v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}$

\\n\\nen que se puede realizar una integración parcial quedando\\n\\n

$m\displaystyle\sum_i a_i\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\sum_i a_i\displaystyle\int d^3v\left[\displaystyle\frac{\partial}{\partial v_i}(fv_i)-\delta_{ij}f\right]$

\\n\\nEn este caso se puede realizar la integración en que el primer termino es nulo en la medida que la distribución lo sea en el infinito, por lo que se tiene\\n\\n

$m\displaystyle\sum_i a_i\displaystyle\int d^3v\left[\displaystyle\frac{\partial}{\partial v_i}(fv_i)-\delta_{ij}f\right]=-a_jm\displaystyle\int d^3v f$



que con la densidad con

$\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



resulta con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_i v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=-\rho a_j$

ID:(9719, 0)


Calculo del momento, termino colisiones
Ecuación

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Como el momento se conserva en las colisiones, el termino de colisiones en la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



debe ser nulo, o sea con

$m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$

ID:(9723, 0)


Ecuación de momento
Ecuación

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De las expresiones, con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf=\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)$



con

$m\displaystyle\int d^3v v_jv_if=\rho\langle v_jv_i\rangle=\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle$



con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_i v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=-\rho a_j$



y con

$m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$



la ecuación con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



se reduce a la ecuación de continuidad con :

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle)-\rho a_j=0$

ID:(9724, 0)


Ecuación de flujo
Ecuación

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La ecuación con

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle)-\rho a_j=0$



se puede reescribir con la ecuación de continuidad con

$\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})=0$



con como:

$\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho\langle w_jw_i\rangle)=\rho\vec{a}$

ID:(9725, 0)


Presión
Ecuación

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La presión se puede expresar con en función de las velocidades locales de las partículas mediante:

$p=\displaystyle\frac{1}{3}\rho\displaystyle\sum_i\langle w_i^2\rangle$

ID:(9726, 0)


Tensor de tensión viscosa
Ecuación

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Para escribir la ecuación del flujo en la forma tradicional se puede introducir con el tensor de tensión viscosa definido con la presión:

$p=\displaystyle\frac{1}{3}\rho\displaystyle\sum_i\langle w_i^2\rangle$



con por

$\pi_{ij}=p\delta_{ij}-\rho\langle w_iw_j\rangle$

ID:(9727, 0)


Ecuación de flujo en forma tensorial
Ecuación

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Con el tensor de tensión viscosa con :

$\pi_{ij}=p\delta_{ij}-\rho\langle w_iw_j\rangle$



la ecuación de flujo con

$\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho\langle w_jw_i\rangle)=\rho\vec{a}$



se escribe con como

$\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\vec{\nabla} p-\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\pi_{ij}=\rho\vec{a}$

ID:(9728, 0)


Ecuación de energía
Ecuación

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Si se multiplica la ecuación con

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



por la energía cinética y se integra sobre las velocidades se obtiene que con

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2f+\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2v_if+\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

ID:(9729, 0)


Energía
Ecuación

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La energía se puede calcular con de

$\epsilon=\displaystyle\frac{1}{2}\langle\vec{w}\cdot\vec{w}\rangle$

ID:(9730, 0)


Flujo de energía por conducción
Ecuación

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El flujo de energía por conducción se puede calcular con de

$\vec{F}=\displaystyle\frac{1}{2}\langle\vec{w}(\vec{w}\cdot\vec{w})\rangle$

ID:(9731, 0)


Fracción de disipación viscosa
Ecuación

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La fracción de disipación viscosa se puede calcular con de

$\Psi=\displaystyle\sum_{i,j}\pi_{ij}\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$

ID:(9732, 0)


Ecuación de energía
Ecuación

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La energía se puede calcular con

$\rho\displaystyle\frac{\partial\epsilon}{\partial t}+\rho\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\epsilon=-p\vec{\nabla}\cdot\vec{u}-\vec{\nabla}\cdot\vec{F}+\Psi$

ID:(9733, 0)