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Drehmoment
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Wenn der Drehzustand des Körpers geändert werden soll, muss der Drehimpuls geändert werden.Die Geschwindigkeit, mit der dies auftritt, wird als Drehmoment bezeichnet, das als Änderung des Drehimpulses in der Zeit definiert ist, und ist vektoriell, da die Änderung des Drehimpulses ist. Dies wurde von Newton in seinem zweiten Prinzip im Falle der Rotation definiert.
ID:(599, 0)
Drehmoment mit konstantem Trägheitsmoment
Modell
Wenn der Drehzustand des Körpers geändert werden soll, muss der Drehimpuls geändert werden. Die Geschwindigkeit, mit der dies auftritt, wird als Drehmoment bezeichnet, das als Änderung des Drehimpulses in der Zeit definiert ist, und ist vektoriell, da die Änderung des Drehimpulses ist. Dies wurde von Newton in seinem zweiten Prinzip im Falle der Rotation definiert.
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Gleichung
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Gleichungen
(ID 1072)
(ID 1072)
(ID 1072)
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie f r momentane Werte angewendet werden, was zu
| $ v = r \omega $ |
f hrt.
(ID 3233)
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie f r momentane Werte angewendet werden, was zu
| $ v = r \omega $ |
f hrt.
(ID 3233)
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie f r momentane Werte angewendet werden, was zu
| $ v = r \omega $ |
f hrt.
(ID 3233)
Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zur ckgelegten Winkel
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der verstrichenen Zeit
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
innerhalb dieses Zeitintervalls.
(ID 3234)
Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gem
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut
| $ \alpha_0 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
ist, folgt daraus, dass
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist
| $ a_0 = \bar{a} $ |
ergibt sich folgende Gleichung:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Daher, unter Ber cksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
kann die Gleichung f r die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
| $ \alpha_0 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
wie folgt ausgedr ckt werden:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Durch Aufl sen erhalten wir:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
(ID 3251)
(ID 3251)
(ID 3251)
Da das Moment gleich ist
| $ L = I \omega $ |
folgt daraus, dass im Fall, dass sich das Tr gheitsmoment nicht mit der Zeit ndert,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
was bedeutet, dass
| $ T = I \alpha $ |
.
(ID 3253)
(ID 3324)
(ID 3324)
(ID 3324)
Die Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) wird wie folgt ausgedrückt:
| $ L = r p $ |
Unter Verwendung von der Radius ($r$) lässt sich dieser Ausdruck mit der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wie folgt gleichsetzen:
| $ L = I \omega $ |
Durch anschließendes Ersetzen mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$):
| $ p = m_i v $ |
und
| $ v = r \omega $ |
ergibt sich schließlich, dass das Trägheitsmoment einer Teilchenmasse, die sich auf einer Umlaufbahn dreht, gleich ist:
| $ I = m_i r ^2$ |
(ID 3602)
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Da der zur ckgelegte Winkel gleich der Fl che unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:
$\omega_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
hinzugef gt werden.
Dies f hrt uns zu dem Ausdruck f r der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
(ID 3683)
Wenn man von die Ausgangsstellung ($s_0$) ausgeht und die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) berechnen möchte, muss ein Wert für die Position ($s$) festgelegt werden.
In einem eindimensionalen System erhält man die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$), indem man die Ausgangsstellung ($s_0$) von die Position ($s$) subtrahiert. Das ergibt:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
(ID 4355)
Wenn wir die Zeit in der Gleichung von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) aufl sen, die die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) umfasst:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
erhalten wir den folgenden Ausdruck f r die Zeit:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Diese L sung kann in die Gleichung eingesetzt werden, um der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt zu berechnen:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
was in der folgenden Gleichung resultiert:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Si se deriva en el tiempo la relaci n para el momento angular
| $ L = r p $ |
para el caso de que el radio sea constante
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=r\displaystyle\frac{dp}{dt}=rF$
por lo que
| $ T = r F $ |
(ID 4431)
(ID 9875)
Da der Moment ($p$) mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert ist,
| $ p = m_i v $ |
Wenn die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist, k nnen wir den Impuls nach der Zeit ableiten und die Kraft mit konstanter Masse ($F$) erhalten:
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Daher kommen wir zu dem Schluss, dass
| $ F = m_i a $ |
(ID 10975)
Beispiele
(ID 15527)
(ID 15530)
ID:(599, 0)