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Viskose Kraft und Gravitation
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Wenn sich ein Körper in einem viskosen Medium unter dem Einfluss einer konstanten Kraft wie der Schwerkraft bewegt, beschleunigt die Schwerkraft den Körper anfangs, bis seine Geschwindigkeit auf das Niveau ansteigt, auf dem sich die viskose Kraft und die Schwerkraft ausgleichen. Ab diesem Punkt erfährt der Körper keine weitere Beschleunigung mehr und bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
ID:(1965, 0)
Viskose Kraft und Gravitation
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Wenn sich ein Körper in einem viskosen Medium unter dem Einfluss einer konstanten Kraft wie der Schwerkraft bewegt, beschleunigt die Schwerkraft den Körper anfangs, bis seine Geschwindigkeit auf das Niveau ansteigt, auf dem sich die viskose Kraft und die Schwerkraft ausgleichen. Ab diesem Punkt erfährt der Körper keine weitere Beschleunigung mehr und bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.
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Da der Moment ($p$) mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert ist,
Wenn die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist, k nnen wir den Impuls nach der Zeit ableiten und die Kraft mit konstanter Masse ($F$) erhalten:
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Daher kommen wir zu dem Schluss, dass
Die Bewegungsgleichung bei die Geschwindigkeit ($v$) in der Zeit ($t$) mit die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsmasse ($m_g$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Konstante des Viscose Kraft ($b$):
zusammen mit der Definition von die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$)
und die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$)
kann umformuliert werden als
$\displaystyle\frac{dv}{g\tau_g - v} = \displaystyle\frac{dt}{\tau_i}$
Wenn wir diesen Ausdruck zwischen eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die Geschwindigkeit ($v$) integrieren und vom Anfangszeitpunkt null bis der Zeit ($t$) integrieren, erhalten wir
$\ln(g\tau_g-v_0)-\ln(g\tau_g-v)=\displaystyle\frac{t}{\tau_i}$
Durch L sen nach der Geschwindigkeit erhalten wir
Beispiele
Die Kraft, die ein K rper erf hrt, der sich mit einer Geschwindigkeit von eine Geschwindigkeit ($v$) in einem Medium bewegt, das durch die Konstante des Viscose Kraft ($b$) charakterisiert ist, betr gt die Viscose Kraft ($F_v$), wie durch die Gleichung beschrieben:
Um die Rolle von die Konstante des Viscose Kraft ($b$) zu verstehen, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass Viskosit t ein Ma daf r ist, wie sich der Impuls oder die Geschwindigkeit der Molek le ausbreitet. Mit anderen Worten, die Konstante des Viscose Kraft ($b$) ist das Ma daf r, wie viel Energie der K rper verliert, indem er sie an das Medium bertr gt und die Molek le beschleunigt, und ihnen so Energie zuf hrt. Daher ist die Konstante des Viscose Kraft ($b$) proportional zur Viskosit t.
Wenn eine Kugel in ein viskoses Medium geworfen wird, entsteht eine anf ngliche Aufw rtskraft, eine Schwerkraft ($F_g$), die den K rper allm hlich absinken l sst. W hrend dieses Prozesses gewinnt die Kugel an Geschwindigkeit, was zu einer abw rts gerichteten Kraft, eine Viscose Kraft ($F_v$), f hrt, die von der Geschwindigkeit abh ngt. Wenn die Gesamtgeschwindigkeit, die Kraft mit konstanter Masse ($F$),
beginnt sich zu verringern, bis sie null ist. Ab diesem Moment setzt sich die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit fort, da keine Kraft vorhanden ist, die sie beschleunigt.
Die Viskosit tsmessmethode nach Ostwald basiert auf dem Verhalten eines Fl ssigkeitsstroms durch ein Rohr mit kleinem Radius (Kapillare).
Die Fl ssigkeit wird eingef hrt, Unterdruck wird angewendet, um die obere Markierung zu berschreiten, und dann wird sie abflie en gelassen, wobei die Zeit gemessen wird, die der Pegel ben tigt, um von der oberen zur unteren Markierung zu gelangen.
Das Experiment wird zuerst mit einer Fl ssigkeit durchgef hrt, deren Viskosit t und Dichte bekannt sind (z. B. destilliertes Wasser), und dann mit der Fl ssigkeit, f r die die Viskosit t bestimmt werden soll. Wenn die Bedingungen identisch sind, wird die in beiden F llen flie ende Fl ssigkeit hnlich sein, und somit wird die Zeit proportional zur Dichte durch die Viskosit t sein. Somit kann eine Vergleichsgleichung zwischen beiden Viskosit ten aufgestellt werden:
Im Fall eines K rpers, der in einem viskosen Medium f llt, ist die Bewegungsgleichung eine Gleichung von die Geschwindigkeit ($v$) in Abh ngigkeit von der Zeit ($t$) mit die Gravitationsmasse ($m_g$), die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Konstante des Viscose Kraft ($b$):
Dies wird erhalten mit die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$)
und mit die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$)
Integrieren mit Anfangszeit null und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$),
welche nachfolgend dargestellt ist:
Das Diagramm zeigt, wie die Viskosit t den K rper dazu zwingt, mit eine Asymptotische Geschwindigkeit ($v_{\infty}$) abzusteigen, was gleich $g\tau_g$ ist. Dies geschieht innerhalb einer Zeitordnung von die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), egal ob die Geschwindigkeit ($v$) kleiner oder gr er als die Asymptotische Geschwindigkeit ($v_{\infty}$) ist.
Im Fall eines K rpers, der in einem viskosen Medium f llt, ist die Bewegungsgleichung eine Gleichung von die Position ($s$) in Abh ngigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$):
Aus dieser Gleichung erhalten wir durch Integration mit Anfangszeit null und eine Ausgangsstellung ($s_0$):
die unten dargestellt ist:
Im Fall eines K rpers, der in einem viskosen Medium f llt, ist die Gesamtkraft, die Kraft mit konstanter Masse ($F$), gleich die Schwerkraft ($F_g$) minus die Viscose Kraft ($F_v$), also
Im Fall, dass die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist,
wird die Ableitung des Impulses gleich der Masse mal der Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) sein. Da die Ableitung der Geschwindigkeit die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) ist, ergibt sich, dass die Kraft mit konstanter Masse ($F$) ist
Die einfachste Form von die Viscose Kraft ($F_v$) ist diejenige, die proportional zum die Geschwindigkeit ($v$) des K rpers ist, dargestellt durch:
Die Proportionalit tskonstante, auch bekannt als die Konstante des Viscose Kraft ($b$), h ngt im Allgemeinen von der Form des Objekts und der Viskosit t des Mediums ab, in dem es sich bewegt. Ein Beispiel f r diese Art von Kraft ist die, die von einem Fluidstrom auf einen kugelf rmigen K rper ausge bt wird, deren mathematischer Ausdruck als Stokesches Gesetz bekannt ist.
Die Schwerkraft ($F_g$) basiert auf die Gravitationsmasse ($m_g$) des Objekts und auf einer Konstanten, die die Intensit t der Gravitation an der Oberfl che des Planeten widerspiegelt. Letztere wird durch die Gravitationsbeschleunigung ($g$) identifiziert, was $9.8 m/s^2$ entspricht.
Daraus folgt, dass:
Die Massen, die Newton in seinen Prinzipien verwendete, sind mit der Tr gheit der K rper verbunden, was zum Konzept von die Träge Masse ($m_i$) f hrt.
Das nach Newton benannte Gesetz, das die Kraft zwischen K rpern aufgrund ihrer Massen beschreibt, ist mit der Gravitation verbunden und wird daher als die Gravitationsmasse ($m_g$) bezeichnet.
Empirisch wurde festgestellt, dass beide Massen quivalent sind, und daher definieren wir
Einstein war derjenige, der diese Gleichheit in Frage stellte und von diesem Zweifel aus verstand, warum beide in seiner Gravitationstheorie "gleich erscheinen". In seinem Argument erkl rte Einstein, dass Massen den Raum verformen, und diese Raumverformung f hrt zu einer Ver nderung des Verhaltens von K rpern. Auf diese Weise erweisen sich die Massen als quivalent. Das revolution re Konzept der Raumkr mmung impliziert, dass selbst Licht, das keine Masse hat, von Himmelsk rpern beeinflusst wird, was der Gravitationstheorie von Newton widerspricht. Dies wurde experimentell durch die Untersuchung des Verhaltens von Licht w hrend einer Sonnenfinsternis nachgewiesen. In dieser Situation werden Lichtstrahlen aufgrund der Anwesenheit der Sonne abgelenkt, was es erm glicht, Sterne hinter ihr zu beobachten.
Die Kraft mit konstanter Masse ($F$) ist gleich die Schwerkraft ($F_g$) minus die Viscose Kraft ($F_v$), also:
Diese Beziehung erm glicht die Aufstellung der Bewegungsgleichung f r die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) mit eine Träge Masse ($m_i$), die aufgrund der Schwerkraft der Erde mit die Gravitationsbeschleunigung ($g$) f llt, und mit eine Gravitationsmasse ($m_g$), in die Konstante des Viscose Kraft ($b$), wird sie die Form annehmen von:
Die Träge Masse ($m_i$), das durch die Erdanziehungskraft mit eine Gravitationsbeschleunigung ($g$) f llt, und mit eine Gravitationsmasse ($m_g$) in einem viskosen Medium mit eine Konstante des Viscose Kraft ($b$), wird wie folgt dargestellt:
Um diese Gleichung zu l sen, muss sie in ihre Differentialform gebracht werden. Dies wird erreicht, indem die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) durch die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) in der Zeit ($t$) ersetzt wird:
Mit der Bewegungsgleichung eines K rpers in einem viskosen Medium haben wir die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsmasse ($m_g$), die Konstante des Viscose Kraft ($b$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$):
Damit wird die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$) definiert als:
Mit der Bewegungsgleichung eines K rpers in einem viskosen Medium haben wir die Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Konstante des Viscose Kraft ($b$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$):
Damit wird die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$) definiert als:
Die Bewegungsgleichung in die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$) mit die Träge Masse ($m_i$), die Gravitationsmasse ($m_g$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Konstante des Viscose Kraft ($b$) lautet:
Unter der Annahme, dass die Anfangszeit null ist, die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$) und die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), erhalten wir die folgende Gleichung:
Diese Gleichung veranschaulicht, dass die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) dann asymptotisch gegen die Geschwindigkeit $g\tau_g$ konvergiert.
Die Integration der Bewegungsgleichung ergibt die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$) in der Form:
F r der Zeit ($t$) viel gr er als die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$) ergibt sich das Limit die Asymptotische Geschwindigkeit ($v_{\infty}$):
Die Integration der Bewegungsgleichung ergibt die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$) in der Form:
in ihrer differentiellen Form,
wobei die Position ($s$) die zur ckgelegte Strecke repr sentiert.
Die Integration der Bewegungsgleichung ergibt die Position ($s$) in Abh ngigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), die Viskositätszeit und träge Masse ($\tau_i$), die Viskositätszeit und schwere Masse ($\tau_g$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Zeit ($t$) wie folgt:
von einem anf nglichen Nullzeitpunkt bis der Zeit ($t$), und von die Ausgangsstellung ($s_0$) bis die Position ($s$), erhalten wir
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