Storyboard

Se um objeto é arremessado ou disparado em um campo gravitacional, ele passa por dois tipos de movimento:

• No eixo vertical, ele se desloca devido ao efeito da gravidade, experimentando uma aceleração gravitacional. Para trajetórias de baixa altura, essa aceleração pode ser considerada constante.

• No eixo horizontal, desde que a resistência do ar seja negligenciável, o objeto se desloca com velocidade constante, pois não há força para acelerá-lo ou desacelerá-lo.

O resultado é o que é conhecido como uma trajetória balística, que alcança sua máxima distância quando arremessada ou disparada sob um ângulo de 45 graus.

>Modelo

ID:(1446, 0)

Iframe

>Top

ID:(15404, 0)

Conceito

>Top

Durante a Idade Média, ao observar o voo de uma bola de canhão, desenhava-se uma curva que mostrava uma subida pronunciada seguida por uma queda quase vertical, como pode ser visto na imagem:

No entanto, ao analisar as equações da cinemática, sabe-se que a trajetória real da bola de canhão é muito diferente. Na verdade, trata-se de uma parábola que é produzida pela combinação do movimento vertical, causado pela gravidade, e do movimento horizontal, que é constante.

Em outras palavras, o tempo que a bola permanece no ar é determinado pelo seu movimento vertical, enquanto a distância percorrida na direção horizontal é determinada pela sua velocidade horizontal.

ID:(13996, 0)

Conceito

>Top

A trajetória balística geralmente segue uma parábola invertida com um ponto de altura máxima atingida ($y_{max}$) e uma distância máxima alcançada ($x_{imp}$) com la tempo de altura máxima ($t_{max}$) e la tempo de impactar ($t_{imp}$):

Nota: Estritamente falando, as componentes devem ser estimadas com base em seus valores ao nível do solo para determinar com precisão os parâmetros da altura máxima e do ponto de impacto.

ID:(12536, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$g$

g

Aceleração gravitacional

m/s^2

$v_0$

v_0

Velocidade inicial

m/s

Variáveis

$y_{max}$

y_max

Altura máxima atingida

m

$\phi$

phi

Altura máxima atingida

rad

$h$

h

Altura para atirar

m

$x_{imp}$

x_imp

Distância máxima alcançada

m

$x$

x

Posição no eixo x

m

$y$

y

Posição no eixo y

m

$t$

t

Tempo

s

$t_{max}$

t_max

Tempo de altura máxima

s

$t_{imp}$

t_imp

Tempo de impactar

s

$v_{0x}$

v_0x

Velocidade horizontal inicial

m/s

$v_{0y}$

v_0y

Velocidade vertical inicial

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15407, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se uma massa pontual se move com uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparada para baixo um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, então o seu velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) será igual a:

$v_{0x} = v_0 \cos \phi$

Condições

Variáveis

$\phi$

Altura máxima atingida

$rad$

8435

$v_{0x}$

Velocidade horizontal inicial

$m/s$

8427

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

ID:(10932, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se uma massa pontual se move com uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparada para baixo um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, então o seu velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) será igual a:

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

Condições

Variáveis

$\phi$

Altura máxima atingida

$rad$

8435

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

$v_{0y}$

Velocidade vertical inicial

$m/s$

8428

Relação

ID:(10933, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O objeto percorre um tempo ($t$) até Uma velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) Uma posição no eixo x ($x$) igual a

$x = v_{0x} t$

Condições

Variáveis

$x$

Posição no eixo x

$m$

6638

$t$

Tempo

$s$

5264

$v_{0x}$

Velocidade horizontal inicial

$m/s$

8427

Relação

Desenvolvimento

La posição ($s$) percorrido com velocidade constante ($v_0$) com la velocidade ($s_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) é

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

Portanto, se o movimento começa na origem ($s_0=0$) no início do tempo ($t_0=0$), o movimento é descrito por $x=s$ e $v_0=v_{0x}$.

$x = v_{0x} t$

ID:(10930, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Um objeto decola no campo terrestre com uma velocidade de la aceleração gravitacional ($g$), a uma altura para atirar ($h$) com um ângulo de uma velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) e alcançará em um tempo ($t$) a uma altura de uma posição no eixo y ($y$).

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Altura para atirar

$m$

10272

$y$

Posição no eixo y

$m$

8429

$t$

Tempo

$s$

5264

$v_{0y}$

Velocidade vertical inicial

$m/s$

8428

Relação

Desenvolvimento

Para o caso em que aceleração constante ($a_0$) é igual à aceleração gravitacional ($a_0=-g$), a trajetória vertical pode ser calculada utilizando a equação para la posição ($s$) com la velocidade ($s_0$), la velocidade inicial ($v_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

No cenário em que o movimento começa em la altura para atirar ($h$) ($s_0=h$), o tempo inicial ($t_0$) ($t_0=0$) e la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) ($v_0=v_{0y}$) são dados, o movimento pode ser descrito pela fórmula:

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Nota: Se desejar que o alvo esteja em um ponto mais alto do que o canhão, um ângulo negativo de uma altura para atirar ($h$) deve ser usado.

ID:(10931, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se um objeto se move com uma velocidade de uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparado com um ângulo de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, la tempo de impactar ($t_{imp}$) pode ser calculado usando la aceleração gravitacional ($g$) e la altura para atirar ($h$):

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\phi$

Altura máxima atingida

$rad$

8435

$h$

Altura para atirar

$m$

10272

$t_{imp}$

Tempo de impactar

$s$

8430

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

Desenvolvimento

Para determinar o tempo de impacto, podemos usar a equação de la posição no eixo y ($y$), que depende de la altura para atirar ($h$), la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$), onde a altura é zero:

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Isso resulta em um tempo:

$t=\displaystyle\frac{ v_{y0} +\sqrt{ v_{0y} ^2 + 2 g h }}{g}$

Com la velocidade inicial ($v_0$) e o altura máxima atingida ($\phi$):

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

la tempo de impactar ($t_{imp}$) é:

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

ID:(10934, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se um objeto se move com uma velocidade de uma velocidade inicial ($v_0$) e é disparado a um ângulo de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, la aceleração gravitacional ($g$) e la altura para atirar ($h$) podem ser calculados usando a seguinte fórmula:

$x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right)$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\phi$

Altura máxima atingida

$rad$

8435

$h$

Altura para atirar

$m$

10272

$x_{imp}$

Distância máxima alcançada

$m$

8431

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

Desenvolvimento

Como la tempo de impactar ($t_{imp}$) com la velocidade inicial ($v_0$), o altura máxima atingida ($\phi$), la aceleração gravitacional ($g$) e la altura para atirar ($h$) é

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

então la posição no eixo x ($x$) com la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) e o tempo ($t$)

$x = v_{0x} t$

e la velocidade horizontal inicial ($v_{0x}$) com la velocidade inicial ($v_0$) e o altura máxima atingida ($\phi$)

$v_{0x} = v_0 \cos \phi$

portanto, temos

$x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right)$

ID:(10935, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se um objeto se move com uma velocidade de la velocidade inicial ($v_0$) e é disparado com um ângulo de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, a altura em que alcançará seu altura máxima atingida ($y_{max}$) pode ser calculada da seguinte maneira:

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\phi$

Altura máxima atingida

$rad$

8435

$t_{max}$

Tempo de altura máxima

$s$

8432

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

Desenvolvimento

La tempo de altura máxima ($t_{max}$) é alcançado quando la posição no eixo y ($y$) atinge um valor máximo. Essa altura pode ser calculada com la altura para atirar ($h$), la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleração gravitacional ($g$) e o tempo ($t$),

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

cuja derivada no tempo é nula no máximo, implicando:

$\displaystyle\frac{dy}{dt}=v_{0,y}-gt=0$

Portanto, com a expressão para la velocidade inicial ($v_0$),

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

temos que

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

ID:(10936, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se o alvo está a uma distância de la velocidade inicial ($v_0$) e é disparado de uma altitude de um altura máxima atingida ($\phi$) em relação à superfície, com uma velocidade de la aceleração gravitacional ($g$), então a altura que ele alcançará, o altura máxima atingida ($y_{max}$), pode ser calculada como:

$y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$y_{max}$

Altura máxima atingida

$m$

8433

$\phi$

Altura máxima atingida

$rad$

8435

$h$

Altura para atirar

$m$

10272

$v_0$

Velocidade inicial

$m/s$

5188

Relação

Desenvolvimento

O altura máxima atingida ($y_{max}$) é alcançado em uma tempo de altura máxima ($t_{max}$) com o altura máxima atingida ($\phi$), la velocidade constante ($v_0$) e la aceleração gravitacional ($g$),

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

a partir do qual podemos determinar la posição no eixo y ($y$) com la altura para atirar ($h$), la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$) e o tempo ($t$) usando a equação

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Assim, com la velocidade vertical inicial ($v_{0y}$),

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

em o altura máxima atingida ($y_{max}$) é

$y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi$

ID:(10937, 0)