Storyboard

Wenn ein Objekt in einem Gravitationsfeld geworfen oder abgefeuert wird, durchläuft es zwei Arten von Bewegung:

• In der vertikalen Achse bewegt es sich aufgrund des Gravitationsfeldes und erfährt eine gravitative Beschleunigung. Für niedrige Flugbahnen kann diese Beschleunigung als konstant angesehen werden.

• In der horizontalen Achse bewegt sich das Objekt bei vernachlässigbarer Luftwiderstandskraft mit konstanter Geschwindigkeit, da keine Kraft vorhanden ist, die es beschleunigt oder abbremst.

Das Ergebnis ist das, was als ballistische Flugbahn bekannt ist, die ihre maximale Reichweite erreicht, wenn sie unter einem Winkel von 45 Grad geworfen oder abgefeuert wird.

>Modell

ID:(1446, 0)

Iframe

>Top

ID:(15404, 0)

Konzept

>Top

Während des Mittelalters zeichneten sie bei der Beobachtung des Fluges einer Kanonenkugel eine Kurve, die einen steilen Anstieg und einen fast senkrechten Abfall zeigte, wie auf dem Bild zu sehen ist:

Doch beim Betrachten der kinematischen Gleichungen wird klar, dass die tatsächliche Flugbahn der Kanonenkugel sehr unterschiedlich ist. Tatsächlich handelt es sich um eine Parabel, die durch die Kombination der vertikalen Bewegung, verursacht durch die Schwerkraft, und der konstanten horizontalen Bewegung entsteht.

Mit anderen Worten: Die Zeit, die die Kugel in der Luft verbringt, wird durch ihre vertikale Bewegung bestimmt, während die in horizontaler Richtung zurückgelegte Entfernung durch ihre horizontale Geschwindigkeit bestimmt wird.

ID:(13996, 0)

Konzept

>Top

Die ballistische Flugbahn verläuft in der Regel als umgekehrte Parabel mit einem Punkt von Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$) und Maximale Entfernung erreicht ($x_{imp}$) mit die Maximale Höhenzeit ($t_{max}$) und die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$):

Hinweis: Streng genommen sollten die Komponenten basierend auf ihren Werten auf Bodenhöhe geschätzt werden, um die Parameter der maximalen Höhe und des Aufschlagpunkts genau zu bestimmen.

ID:(12536, 0)

Top

>Top

Parameter

$v_0$

v_0

Anfangsgeschwindigkeit

m/s

$g$

g

Gravitationsbeschleunigung

m/s^2

Variablen

$v_{0x}$

v_0x

Horizontale Geschwindigkeit

m/s

$h$

h

Höhe, auf die geschossen werden soll

m

$x_{imp}$

x_imp

Maximale Entfernung erreicht

m

$y_{max}$

y_max

Maximale Höhe erreicht

m

$\phi$

phi

Maximale Höhe erreicht

rad

$t_{max}$

t_max

Maximale Höhenzeit

s

$x$

x

Position auf der x-Achse

m

$y$

y

Position auf der y-Achse

m

$v_{0y}$

v_0y

Vertikale Geschwindigkeit

m/s

$t$

t

Zeit

s

$t_{imp}$

t_imp

Zeit zu einschlag

s

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15407, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn eine Punktmasse sich mit eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, dann wird ihr Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) gleich sein:

$v_{0x} = v_0 \cos \phi$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

5188

$v_{0x}$

Horizontale Geschwindigkeit

$m/s$

8427

$\phi$

Maximale Höhe erreicht

$rad$

8435

Beziehung

ID:(10932, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn eine Punktmasse sich mit eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, dann wird ihr Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$) gleich sein:

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

5188

$\phi$

Maximale Höhe erreicht

$rad$

8435

$v_{0y}$

Vertikale Geschwindigkeit

$m/s$

8428

Beziehung

sein.

ID:(10933, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Objekt wechselt von ein Zeit ($t$) zu eine Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) Eine Position auf der x-Achse ($x$) gleich

$x = v_{0x} t$

Bedingungen

Variablen

$v_{0x}$

Horizontale Geschwindigkeit

$m/s$

8427

$x$

Position auf der x-Achse

$m$

6638

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

Entwicklung

Die Position ($s$) zurückgelegte Strecke mit Konstante Geschwindigkeit ($v_0$) bei die Ausgangsstellung ($s_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) beträgt

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

Deshalb, wenn sich die Bewegung am Ursprung ($s_0=0$) zu Beginn der Zeit ($t_0=0$) befindet, wird die Bewegung durch $x=s$ und $v_0=v_{0x}$ beschrieben.

$x = v_{0x} t$

ID:(10930, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Ein Objekt startet im terrestrischen Feld mit einer Geschwindigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), unter einem Winkel von eine Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) und erreicht bei ein Zeit ($t$) eine Höhe von eine Position auf der y-Achse ($y$).

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Bedingungen

Variablen

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Höhe, auf die geschossen werden soll

$m$

10272

$y$

Position auf der y-Achse

$m$

8429

$v_{0y}$

Vertikale Geschwindigkeit

$m/s$

8428

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

Entwicklung

Für den Fall, dass konstante Beschleunigung ($a_0$) der Erdbeschleunigung entspricht ($a_0=-g$), kann die vertikale Trajektorie mithilfe der Gleichung für die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) berechnet werden:

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

Im Szenario, dass die Bewegung bei die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) ($s_0=h$), der Startzeit ($t_0$) ($t_0=0$) und die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$) ($v_0=v_{0y}$) beginnt, kann die Bewegung durch die Formel beschrieben werden:

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Hinweis: Wenn das Ziel höher liegen soll als das Geschütz, sollte ein negativer Winkel von eine Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) verwendet werden.

ID:(10931, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn sich ein Objekt mit einer Geschwindigkeit von eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter einem Winkel von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, kann die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$) unter Verwendung von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) berechnet werden:

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

5188

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Höhe, auf die geschossen werden soll

$m$

10272

$\phi$

Maximale Höhe erreicht

$rad$

8435

$t_{imp}$

Zeit zu einschlag

$s$

8430

Beziehung

Entwicklung

Um die Aufschlagzeit zu bestimmen, können wir die Gleichung von die Position auf der y-Achse ($y$) verwenden, die von die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$), die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$) abhängt, wobei die Höhe null ist:

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Dies ergibt eine Zeit:

$t=\displaystyle\frac{ v_{y0} +\sqrt{ v_{0y} ^2 + 2 g h }}{g}$

Mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Maximale Höhe erreicht ($\phi$):

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$) ist:

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

ID:(10934, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn ein Objekt sich mit einer Geschwindigkeit von eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter einem Winkel von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, können die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) mit der folgenden Formel berechnet werden:

$x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right)$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

5188

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Höhe, auf die geschossen werden soll

$m$

10272

$x_{imp}$

Maximale Entfernung erreicht

$m$

8431

$\phi$

Maximale Höhe erreicht

$rad$

8435

Beziehung

Entwicklung

Da die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$) mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Maximale Höhe erreicht ($\phi$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) ist

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

dann ist die Position auf der x-Achse ($x$) mit die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) und der Zeit ($t$)

$x = v_{0x} t$

und die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Maximale Höhe erreicht ($\phi$)

$v_{0x} = v_0 \cos \phi$

somit erhalten wir

$x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right)$

ID:(10935, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn ein Objekt mit einer Geschwindigkeit von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt wird und unter einem Winkel von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, kann die Höhe, auf der es sein Ziel Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$) erreicht, wie folgt berechnet werden:

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

5188

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$\phi$

Maximale Höhe erreicht

$rad$

8435

$t_{max}$

Maximale Höhenzeit

$s$

8432

Beziehung

Entwicklung

Die Maximale Höhenzeit ($t_{max}$) wird erreicht, wenn die Position auf der y-Achse ($y$) einen maximalen Wert erreicht. Diese Höhe kann mit die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$), die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$) berechnet werden,



deren Ableitung nach der Zeit am Maximum null ist, was bedeutet:

$\displaystyle\frac{dy}{dt}=v_{0,y}-gt=0$

Daher haben wir mit dem Ausdruck für die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$),

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

dass

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

ID:(10936, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn das Ziel sich in einer Entfernung von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) befindet und aus einer Höhe von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) über der Oberfläche abgefeuert wird, mit einer Geschwindigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), dann kann die Höhe, die es erreichen wird, der Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$), wie folgt berechnet werden:

$y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Anfangsgeschwindigkeit

$m/s$

5188

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Höhe, auf die geschossen werden soll

$m$

10272

$y_{max}$

Maximale Höhe erreicht

$m$

8433

$\phi$

Maximale Höhe erreicht

$rad$

8435

Beziehung

Entwicklung

Der Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$) wird mit eine Maximale Höhenzeit ($t_{max}$) mit der Maximale Höhe erreicht ($\phi$), die Konstante Geschwindigkeit ($v_0$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) erreicht,

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

womit wir die Position auf der y-Achse ($y$) mit die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$), die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$) und der Zeit ($t$) durch die Gleichung bestimmen können

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Somit, mit die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$),

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

ist es bei der Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$)

$y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi$

ID:(10937, 0)