Storyboard

Si se arroja o dispara un objeto en un campo gravitacional, este realizará dos tipos de movimiento:

• En el eje vertical, se desplazará debido al efecto de la gravedad, lo que significa que estará sometido a la aceleración gravitacional. Para trayectorias de baja altura, esta aceleración puede considerarse constante.

• En el eje horizontal, siempre y cuando se ignore la resistencia del aire, el objeto se desplazará a una velocidad constante, ya que no existe una fuerza que lo acelere o frene.

El resultado es lo que se conoce como una trayectoria balística, que alcanza su distancia máxima cuando se arroja o dispara bajo un ángulo de 45 grados.

>Modelo

ID:(1446, 0)

Iframe

>Top

ID:(15404, 0)

Concepto

>Top

Durante la Edad Media, al observar el vuelo de una bola de cañón, se dibujaba una curva que mostraba una subida pronunciada seguida de una caída casi vertical, como se puede ver en la imagen:

Sin embargo, al analizar las ecuaciones de la cinemática, se sabe que la trayectoria real de la bola de cañón es muy diferente. De hecho, se trata de una parábola que se produce por la combinación del movimiento vertical, causado por la gravedad, y del movimiento horizontal, que es constante.

En otras palabras, el tiempo que la bola permanece en el aire está determinado por su movimiento vertical, mientras que la distancia recorrida en dirección horizontal está determinada por su velocidad horizontal.

ID:(13996, 0)

Concepto

>Top

La trayectoria balística suele adoptar la forma de una parábola invertida con un punto de altura máxima alcanzada ($y_{max}$) y un distancia máxima alcanzada ($x_{imp}$) con la tiempo de máxima altura ($t_{max}$) y la tiempo para impacto ($t_{imp}$):

Nota: En rigor estricto, las componentes deben estimarse en función de sus valores al nivel del suelo para determinar con precisión los parámetros de la altura máxima y el punto de impacto.

ID:(12536, 0)

Top

>Top

Parámetros

$g$

g

Aceleración gravitacional

m/s^2

$v_0$

v_0

Velocidad inicial

m/s

Variables

$h$

h

Altura en que se dispara

m

$y_{max}$

y_max

Altura máxima alcanzada

m

$\phi$

phi

Angulo en que se dispara

rad

$x_{imp}$

x_imp

Distancia máxima alcanzada

m

$x$

x

Posición en el eje x

m

$y$

y

Posición en el eje y

m

$t$

t

Tiempo

s

$t_{max}$

t_max

Tiempo de máxima altura

s

$t_{imp}$

t_imp

Tiempo para impacto

s

$v_{0x}$

v_0x

Velocidad horizontal inicial

m/s

$v_{0y}$

v_0y

Velocidad vertical inicial

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estrategia
• 2D
• 3D

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

---

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar

Ecuaciones

ID:(15407, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si una masa puntual se mueve con una velocidad inicial ($v_0$) y se dispara bajo un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, entonces su velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) será igual a:

$v_{0x} = v_0 \cos \phi$

Condiciones

Variables

$\phi$

Angulo en que se dispara

$rad$

8435

$v_{0x}$

Velocidad horizontal inicial

$m/s$

8427

$v_0$

Velocidad inicial

$m/s$

5188

Relación

ID:(10932, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si una masa puntual se mueve con una velocidad inicial ($v_0$) y se dispara bajo un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, entonces su velocidad vertical inicial ($v_{0y}$) será igual a:

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

Condiciones

Variables

$\phi$

Angulo en que se dispara

$rad$

8435

$v_0$

Velocidad inicial

$m/s$

5188

$v_{0y}$

Velocidad vertical inicial

$m/s$

8428

Relación

ID:(10933, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El objeto recorre en un tiempo ($t$) a una velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) Una posición en el eje x ($x$) igual a

$x = v_{0x} t$

Condiciones

Variables

$x$

Posición en el eje x

$m$

6638

$t$

Tiempo

$s$

5264

$v_{0x}$

Velocidad horizontal inicial

$m/s$

8427

Relación

Desarrollo

La posición ($s$) recorrido con velocidad constante ($v_0$) con la posición inicial ($s_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) es

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

Por lo tanto, si el movimiento se inicia en el origen ($s_0=0$) al comienzo del tiempo ($t_0=0$), el movimiento se describe con $x=s$ y $v_0=v_{0x}$.

$x = v_{0x} t$

ID:(10930, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Un objeto despega en el campo terrestre con una velocidad inicial de la aceleración gravitacional ($g$), a una elevación de una altura en que se dispara ($h$) y un ángulo de una velocidad vertical inicial ($v_{0y}$). Alcanzará su objetivo en un tiempo ($t$) con una altura de una posición en el eje y ($y$).

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Altura en que se dispara

$m$

10272

$y$

Posición en el eje y

$m$

8429

$t$

Tiempo

$s$

5264

$v_{0y}$

Velocidad vertical inicial

$m/s$

8428

Relación

Desarrollo

Para el caso en el que aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración gravitacional ($a_0=-g$), la trayectoria vertical se puede calcular utilizando la ecuación para la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$

En el caso en que el movimiento comience en la altura en que se dispara ($h$) ($s_0=h$), el tiempo inicial ($t_0$) ($t_0=0$) y la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$) ($v_0=v_{0y}$) estén dados, el movimiento se puede describir mediante la fórmula:

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Nota: Si se desea que el blanco esté en un punto más alto que el cañón, se debe emplear una elevación una altura en que se dispara ($h$) negativa.

ID:(10931, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si un objeto se mueve con una velocidad de una velocidad inicial ($v_0$) y es disparado con un ángulo de un angulo en que se dispara ($\phi$) respecto a la superficie, la tiempo para impacto ($t_{imp}$) puede ser calculado usando la aceleración gravitacional ($g$) y la altura en que se dispara ($h$):

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Altura en que se dispara

$m$

10272

$\phi$

Angulo en que se dispara

$rad$

8435

$t_{imp}$

Tiempo para impacto

$s$

8430

$v_0$

Velocidad inicial

$m/s$

5188

Relación

Desarrollo

Para determinar el tiempo de impacto, podemos utilizar la ecuación de la posición en el eje y ($y$), que depende de la altura en que se dispara ($h$), la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$), donde la altura es nula:

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

Esto resulta en un tiempo:

$t=\displaystyle\frac{ v_{y0} +\sqrt{ v_{0y} ^2 + 2 g h }}{g}$

Con la velocidad inicial ($v_0$) y el angulo en que se dispara ($\phi$):

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

la tiempo para impacto ($t_{imp}$) es:

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

ID:(10934, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si un objeto se mueve con una velocidad inicial ($v_0$) y es disparado a un angulo en que se dispara ($\phi$) respecto a la superficie, la aceleración gravitacional ($g$) y la altura en que se dispara ($h$) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

$x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right)$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Altura en que se dispara

$m$

10272

$\phi$

Angulo en que se dispara

$rad$

8435

$x_{imp}$

Distancia máxima alcanzada

$m$

8431

$v_0$

Velocidad inicial

$m/s$

5188

Relación

Desarrollo

Dado que la tiempo para impacto ($t_{imp}$) con la velocidad inicial ($v_0$), el angulo en que se dispara ($\phi$), la aceleración gravitacional ($g$) y la altura en que se dispara ($h$) es

$t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$

entonces la posición en el eje x ($x$) con la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) y el tiempo ($t$)

$x = v_{0x} t$

y la velocidad horizontal inicial ($v_{0x}$) con la velocidad inicial ($v_0$) y el angulo en que se dispara ($\phi$)

$v_{0x} = v_0 \cos \phi$

por lo tanto, obtenemos

$x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right)$

ID:(10935, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si un objeto se mueve con una velocidad de la velocidad inicial ($v_0$) y es disparado con un ángulo de elevación de un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, la altura en la que alcanzará su objetivo, altura máxima alcanzada ($y_{max}$), se puede calcular de la siguiente manera:

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\phi$

Angulo en que se dispara

$rad$

8435

$t_{max}$

Tiempo de máxima altura

$s$

8432

$v_0$

Velocidad inicial

$m/s$

5188

Relación

Desarrollo

La tiempo de máxima altura ($t_{max}$) se alcanza cuando la posición en el eje y ($y$) alcanza un valor máximo. Esta altura puede calcularse con la altura en que se dispara ($h$), la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$), la aceleración gravitacional ($g$) y el tiempo ($t$),

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

cuya derivada respecto al tiempo es nula en el máximo, lo que implica:

$\displaystyle\frac{dy}{dt}=v_{0,y}-gt=0$

Por lo tanto, con la expresión para la velocidad inicial ($v_0$),

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

tenemos que

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

ID:(10936, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si el objetivo se encuentra a una distancia de la velocidad inicial ($v_0$) y se dispara desde una altura de un angulo en que se dispara ($\phi$) con respecto a la superficie, con una velocidad inicial de la aceleración gravitacional ($g$), entonces la altura que alcanzará El altura máxima alcanzada ($y_{max}$) puede calcularse como:

$y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Altura en que se dispara

$m$

10272

$y_{max}$

Altura máxima alcanzada

$m$

8433

$\phi$

Angulo en que se dispara

$rad$

8435

$v_0$

Velocidad inicial

$m/s$

5188

Relación

Desarrollo

El altura máxima alcanzada ($y_{max}$) se alcanza en una tiempo de máxima altura ($t_{max}$) con el angulo en que se dispara ($\phi$), la velocidad constante ($v_0$) y la aceleración gravitacional ($g$),

$t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi$

con lo que se puede determinar la posición en el eje y ($y$) con la altura en que se dispara ($h$), la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$) y el tiempo ($t$) mediante la ecuación

$y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$

De este modo, con la velocidad vertical inicial ($v_{0y}$),

$v_{0y} = v_0 \sin \phi$

en el altura máxima alcanzada ($y_{max}$) es

$y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi$

ID:(10937, 0)