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Um zu beschreiben, wie sich der Winkel im Laufe der Zeit entwickelt, ist es notwendig, seine Variation im Laufe der Zeit zu analysieren.

Die Beziehung zwischen der Veränderung des Winkels entspricht dem Winkel des zurückgelegten Bogens in der vergangenen Zeit, der, wenn er durch diese Zeit geteilt wird, zur Winkelgeschwindigkeit wird.

Wenn ein endliches Zeitintervall betrachtet wird, stellt die Winkelgeschwindigkeit die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit während dieses Intervalls dar.

>Modell

ID:(611, 0)

Iframe

>Top

ID:(15409, 0)

Beschreibung

>Top

Sobald das Konzept der vergangenen Zeit eingeführt wurde, kann die Bewegung in Bezug auf den zurückgelegten Winkel definiert werden. Dazu müssen wir Folgendes messen:

• den aktuellen Winkel, der als Winkeldifferenz zu einem Ursprungspunkt bestimmt wird, von dem aus wir messen;

• den Anfangswinkel, der als Winkeldifferenz zum gleichen vorherigen Ursprungspunkt bestimmt wird und als Differenz zwischen dem ersten und dem zweiten berechnet wird.

ID:(12516, 0)

Konzept

>Top

Die Grundlage für die Beschreibung jeder Entwicklung ist die Definition der Zeit, in der sie beschrieben wird. Insbesondere wird mit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) seit einem Referenzzeitpunkt gearbeitet.

ist es möglich, den Zeitursprung zu "verschieben", indem ein konstanter Wert

zu beiden Größen hinzugefügt wird:

$t \rightarrow t + \tau$

$t_0 \rightarrow t_0 + \tau$

ohne das Ergebnis der verstrichenen Zeit zu beeinflussen:

$\Delta t = t - t_0 \rightarrow (t + \tau) - (t_0 + \tau) = t - t_0 = \Delta t$

Dieses Konzept wird als zeitliche Invarianz bezeichnet, was bedeutet, dass der Wert der verstrichenen Zeit unabhängig vom spezifischen Startpunkt der Messung unverändert bleibt.

Dies bedeutet, dass die mit diesem Prinzip formulierten Gesetze zeitlich invariant sind, d. h., sie gelten unabhängig davon, ob sie in der Gegenwart, der Vergangenheit oder der Zukunft angewendet werden.

ID:(12507, 0)

Konzept

>Top

Eine Situation, die auftreten kann, ist wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, was bedeutet, dass der zurückgelegte Winkel proportional zur verstrichenen Zeit zunimmt. Mit lässt sich dies folgendermaßen ausdrücken:

$\omega=\omega_0$

Es ist wichtig zu beachten, dass die Winkelgeschwindigkeit immer relativ zu einem Bezugssystem gemessen wird. In diesem Fall bezieht sich die konstante Winkelgeschwindigkeit auf das Bezugssystem, das für die Messung verwendet wird.

ID:(11410, 0)

Beschreibung

>Top

Die mittlere Winkelgeschwindigkeit wird als der im vergangenen Zeitraum zurückgelegte Winkel definiert. Da eine Drehung eine Achse erfordert, wird diese orthogonal zur Scheibe gezeichnet, die den rotierenden Körper darstellt. Um die Achse zu integrieren, wird die Winkelgeschwindigkeit als ein Vektor definiert, dessen Betrag der Winkel pro Zeiteinheit ist und dessen Richtung in Abhängigkeit von der Ausrichtung der Achse definiert ist:

ID:(10967, 0)

Bild

>Top

Um die gegebene Aussage auf Deutsch zu verbessern, schlage ich Folgendes vor:

Im Fall von konstanter Winkelgeschwindigkeit und bekannter Anfangszeit kann der Winkel mithilfe der folgenden Formel berechnet werden:

Die Formel wird graphisch wie folgt dargestellt:

Diese Formel ist nützlich, um den Winkel zu berechnen, den ein Objekt in Situationen gedreht hat, in denen sowohl die Winkelgeschwindigkeit als auch die Anfangszeit bekannt sind. Die Konstanz der Winkelgeschwindigkeit zeigt an, dass die Größe der Winkelgeschwindigkeit sich nicht mit der Zeit ändert. Die Anfangszeit ist die Referenzzeit, von der aus die verstrichene Zeit gemessen wird. Folglich kann der von dem Objekt gedrehte Winkel direkt berechnet werden, indem die Winkelgeschwindigkeit mit der verstrichenen Zeit seit der Anfangszeit multipliziert wird.

ID:(11412, 0)

Beschreibung

>Top

Wenn ein Objekt einem Modus unterworfen wird, um einen konstanten Radius beizubehalten, wird es sich wie in der Abbildung dargestellt drehen. Bei Betrachtung der Abbildung würde man bemerken, dass die Masse eine translatorische Bewegung mit einer tangentialen Geschwindigkeit ausführt, die dem Radius mal der Winkelgeschwindigkeit entspricht:

Wenn jedoch das Element, das das Objekt mit der Achse verbindet, abgeschnitten wird, wird sich das Objekt weiterhin tangential in einer geraden Linie bewegen.

ID:(310, 0)

Bild

>Top

Die Orientierung der Tangentialgeschwindigkeit kann mit der Rechten-Hand-Regel bestimmt werden. Wenn die Finger in Richtung der Rotationsachse zeigen und dann in Richtung des Positionsvektors (Radius) gebogen werden, zeigt der Daumen in Richtung der Tangentialgeschwindigkeit:

ID:(11599, 0)

Top

>Top

Parameter

$\theta_0$

theta_0

Anfangswinkel

rad

$\omega_0$

omega_0

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

rad/s

$s_0$

s_0

Ausgangsstellung

m

$\Delta\theta$

Dtheta

Differenz von Winkel

rad

$v_0$

v_0

Konstante Geschwindigkeit

m/s

$r$

r

Radius

m

$t_0$

t_0

Startzeit

s

Variablen

$\Delta t$

Dt

Abgelaufene Zeit

s

$\bar{v}$

v_m

Mittlere Geschwindigkeit

m/s

$\bar{\omega}$

omega_m

Mittlere Winkelgeschwindigkeit

rad/s

$s$

s

Position

m

$\theta$

theta

Winkel

rad

$t$

t

Zeit

s

$\Delta s$

Ds

Zurückgelegte Strecke in einer Zeit

m

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15420, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Rotation eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die Winkelvariation ($\Delta\theta$) bestimmen. Dies geschieht, indem wir der Anfangswinkel ($\theta_0$) von der Winkel ($\theta$) subtrahieren, den Wert, den das Objekt während seiner Rotation erreicht:

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

Bedingungen

Variablen

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

5296

$\Delta\theta$

Differenz von Winkel

$rad$

5299

$\theta$

Winkel

$rad$

6065

Beziehung

ID:(3680, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, müssen wir der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnen. Diese Größe wird durch Messung von der Startzeit ($t_0$) und der der Zeit ($t$) dieser Bewegung erhalten. Die Dauer wird bestimmt, indem die Anfangszeit von der Endzeit subtrahiert wird:

$\Delta t \equiv t - t_0$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

5103

$t_0$

Startzeit

$s$

5265

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

ID:(4353, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Verschiebung eines Objekts zu schätzen, ist es notwendig, seine die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) in Abhängigkeit von der Zeit ($t$) zu kennen. Daher wird die die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) eingeführt, die als das Verhältnis zwischen die Winkelvariation ($\Delta\theta$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert ist.

Um dies zu messen, kann ein System wie das im Bild gezeigt verwendet werden:

Um die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen, wird ein reflektierendes Element auf der Achse oder auf einer Scheibe mit mehreren reflektierenden Elementen platziert, und der Durchgang wird erfasst, um die Länge des Bogens $\Delta s$ und den Winkel, der mit dem Radius $r$ verbunden ist, zu schätzen. Dann wird der Zeitunterschied aufgezeichnet, wenn die Markierung vor dem Sensor vorbeigeht, als $\Delta t$. Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit wird durch die Division des zurückgelegten Winkels durch die verstrichene Zeit bestimmt.

Die Gleichung, die die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit beschreibt, lautet:

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

5103

$\Delta\theta$

Differenz von Winkel

$rad$

5299

$\bar{\omega}$

Mittlere Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

9943

Beziehung

Entwicklung

Die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) wird als die Winkelvariation ($\Delta\theta$) betrachtet,

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$),

$\Delta t \equiv t - t_0$

Die Beziehung zwischen beiden wird als die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) definiert:

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Es ist zu beachten, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit eine Schätzung der tatsächlichen Winkelgeschwindigkeit ist. Das Hauptproblem ist, dass:

Wenn sich die Winkelgeschwindigkeit während der verstrichenen Zeit ändert, kann der Wert der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sehr unterschiedlich zur durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sein.

Daher ist der Schlüssel:

Die Geschwindigkeit in einer ausreichend kurzen verstrichenen Zeit zu bestimmen, um ihre Variation zu minimieren.

ID:(3679, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, ist es trivial, dass die mittlere Winkelgeschwindigkeit gleich dieser konstanten Winkelgeschwindigkeit ist. Mit anderen Worten, die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) ist gleich die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$):

$\bar{\omega} = \omega_0$

Bedingungen

Variablen

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

5295

$\bar{\omega}$

Mittlere Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

9943

Beziehung

ID:(15431, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, fällt die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) mit dem Wert von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) zusammen, daher

In diesem Fall können wir den Winkel als Funktion der Zeit berechnen, indem wir uns daran erinnern, dass er sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen und dem Anfangswinkel sowie der aktuellen und der Anfangszeit ergibt. Daher ist der Winkel ($\theta$) gleich der Anfangswinkel ($\theta_0$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$), wie unten gezeigt:

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

Bedingungen

Variablen

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

5296

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

5295

$t_0$

Startzeit

$s$

5265

$\theta$

Winkel

$rad$

6065

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

Entwicklung

Im Fall, dass die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) gleich die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist,

$\bar{\omega} = \omega_0$

Deshalb erhalten wir mit die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$), welches gleich der Winkel ($\theta$) geteilt durch der Anfangswinkel ($\theta_0$) ist:

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

Und mit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$), welches gleich der Zeit ($t$) geteilt durch der Startzeit ($t_0$) ist:

$\Delta t \equiv t - t_0$

Wir können die Gleichung für die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) umschreiben als:

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Dies kann ausgedrückt werden als:

$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$

Bei der Lösung erhalten wir:

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

Die Gleichung stellt eine Gerade im Winkel-Zeit-Raum dar.

ID:(1023, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wir können die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) aus die Ausgangsstellung ($s_0$) und die Position ($s$) berechnen mit der folgenden Gleichung:

$\Delta s \equiv s - s_0$

Bedingungen

Variablen

$s_0$

Ausgangsstellung

$m$

5336

$s$

Position

$m$

9899

$\Delta s$

Zurückgelegte Strecke in einer Zeit

$m$

6025

Beziehung

ID:(4352, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) kann aus die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnet werden mit:

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

5103

$\bar{v}$

Mittlere Geschwindigkeit

$m/s$

5268

$\Delta s$

Zurückgelegte Strecke in einer Zeit

$m$

6025

Beziehung

ID:(3152, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit trivialerweise gleich dieser konstanten Geschwindigkeit. Das heißt, die Konstante Geschwindigkeit ($v_0$) ist gleich die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$):

$\bar{v} = v_0$

Bedingungen

Variablen

$v_0$

Konstante Geschwindigkeit

$m/s$

8173

$\bar{v}$

Mittlere Geschwindigkeit

$m/s$

5268

Beziehung

ID:(10276, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Position die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) in einer Kreisbewegung kann aus die Winkelvariation ($\Delta\theta$) und der Radius ($r$) der Umlaufbahn mithilfe der folgenden Formel berechnet werden:

$\Delta s=r \Delta\theta$

Bedingungen

Variablen

$r$

Radius

$m$

9894

$\Delta\theta$

$\Delta\theta$

Differenz von Winkel

$rad$

5299

$\Delta s$

Zurückgelegte Strecke in einer Zeit

$m$

6025

Beziehung

Entwicklung

Wenn ein Objekt einen Abstand von der Radius ($r$) von einer Achse entfernt ist und eine Drehung von eine Winkelvariation ($\Delta\theta$) durchführt, was mit der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$) ergibt

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

wird es eine Strecke von die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) zurückgelegt haben, was mit die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$) ergibt

$\Delta s \equiv s - s_0$

Diese Strecke kann berechnet werden, indem man der Radius ($r$) mit dem Winkel multipliziert, also

$\Delta s=r \Delta\theta$

.

ID:(5302, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da der Umfang eines Kreises $2\pi r$ beträgt, entspricht Halb Summe (1) ($a$) entlang des Kreises dem Bogen, der durch Gegenüber Leg ($\theta$) überspannt wird, daher:

$s = r \theta$

Bedingungen

Variablen

$\theta$

$\theta$

Winkel

$rad$

6065

$s$

$s$

Position

$m$

9899

$r$

Radius

$m$

9894

Beziehung

ID:(3324, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Da der Umfang eines Kreises $2\pi r$ beträgt, entspricht Halb Summe (1) ($a$) entlang des Kreises dem Bogen, der durch Gegenüber Leg ($\theta$) überspannt wird, daher:

$s_0 = r \theta_0$

$s = r \theta$

Bedingungen

Variablen

$\theta$

$\theta_0$

Anfangswinkel

$rad$

5296

$s$

$s_0$

Ausgangsstellung

$m$

5336

$r$

Radius

$m$

9894

Beziehung

ID:(3324, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir das Verhältnis zwischen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Radius ($r$) durch die Winkelvariation ($\Delta\theta$) teilen,

und das dann durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, erhalten wir die Beziehung, die es uns ermöglicht, die Geschwindigkeit ($v$) entlang der Umlaufbahn zu berechnen, bekannt als die tangentielle Geschwindigkeit, die mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) verbunden ist:

$v_0 = r \omega_0$

$v = r \omega$

Bedingungen

Variablen

$v$

$v_0$

Konstante Geschwindigkeit

$m/s$

8173

$r$

Radius

$m$

9894

$\omega$

$\omega_0$

Anfängliche Winkelgeschwindigkeit

$rad/s$

5295

Beziehung

Entwicklung

Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist

$\Delta s=r \Delta\theta$

und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

dann ist

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$

Da die Beziehung allgemein ist, kann sie für momentane Werte angewendet werden, was zu

$v = r \omega$

führt.

ID:(3233, 0)