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Velocidade angular constante
Storyboard 
Para descrever como o ângulo evolui ao longo do tempo, é necessário analisar sua variação ao longo do tempo.
A relação entre a variação do ângulo equivale ao ângulo do arco percorrido no tempo decorrido, que, ao dividir pelo tempo decorrido, torna-se a velocidade angular.
Quando se considera um intervalo de tempo finito, a velocidade angular representa a velocidade angular média durante esse intervalo.
ID:(611, 0)
Velocidade angular constante
Storyboard
Para descrever como o ângulo evolui ao longo do tempo, é necessário analisar sua variação ao longo do tempo. A relação entre a variação do ângulo equivale ao ângulo do arco percorrido no tempo decorrido, que, ao dividir pelo tempo decorrido, torna-se a velocidade angular. Quando se considera um intervalo de tempo finito, a velocidade angular representa a velocidade angular média durante esse intervalo.
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No caso em que la velocidade angular inicial ($\omega_0$) igual a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$),
Portanto, com la diferença de ângulos ($\Delta\theta$), que igual a o ângulo ($\theta$) dividido por o ângulo inicial ($\theta_0$), obtemos:
E com o tempo decorrido ($\Delta t$), que igual a o tempo ($t$) dividido por o tempo inicial ($t_0$), obtemos:
Podemos reescrever a equa o para la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) como:
Isso pode ser expresso como:
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
Ao resolver, obtemos:
Como la velocidade média ($\bar{v}$) com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$), igual a
e com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) expresso como arco de um c rculo, e o rádio ($r$) e la variação de ângulo ($\Delta\theta$) s o
e a defini o de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$)
ent o,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Como a rela o geral, pode ser aplicada para valores instant neos, resultando em
A defini o de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) considerada como la variação de ângulo ($\Delta\theta$),
e o tempo decorrido ($\Delta t$),
A rela o entre ambos definida como la velocidade angular média ($\bar{\omega}$):
Se um objeto est a uma dist ncia igual a o rádio ($r$) de um eixo e realiza uma rota o de uma variação de ângulo ($\Delta\theta$), que com o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$)
ele ter percorrido um arco la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$), que com la posição ($s$) e la velocidade ($s_0$)
Este arco pode ser calculado multiplicando o rádio ($r$) pelo ngulo, ou seja,
Exemplos
Uma vez introduzido o conceito de tempo decorrido, podemos definir o movimento em termos do ngulo percorrido. Para isso, devemos medir:
• o ngulo atual, que determinado como diferen a de ngulo em rela o a uma origem a partir da qual estamos medindo;
• o ngulo inicial, que determinado como diferen a de ngulo em rela o mesma origem anterior e calculado como a diferen a entre o primeiro e o segundo.
A base da descri o de qualquer evolu o a defini o do tempo em que esta descrita. Em particular, trabalhamos com o tempo decorrido ($\Delta t$) a partir de um tempo de refer ncia.
O cron metro nos informa diretamente o tempo decorrido desde que seu tempo inicial zero
No caso de um cron metro, o tempo decorrido medido a partir do in cio da medi o, ou seja, um tempo inicial zero ($t_0=0$).
No caso do rel gio necess rio definir o tipo inicial para determinar o tempo decorrido.
No caso de um rel gio, o tempo decorrido medido a partir de um tempo inicial definido, que pode ser ou n o zero.
Como o tempo decorrido ($\Delta t$) calculado como a diferen a entre o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):
poss vel "deslocar" a origem do tempo somando um valor constante
a ambas as magnitudes:
$t \rightarrow t + \tau$
$t_0 \rightarrow t_0 + \tau$
sem afetar o resultado do tempo decorrido:
$\Delta t = t - t_0 \rightarrow (t + \tau) - (t_0 + \tau) = t - t_0 = \Delta t$
Esse conceito conhecido como invari ncia temporal, o que significa que o valor do tempo decorrido n o depende do ponto inicial espec fico da medi o.
Isso implica que as leis formuladas com base nesse princ pio ser o invariantes no tempo, ou seja, continuar o v lidas independentemente de serem aplicadas no presente, no passado ou no futuro.
Uma situa o que pode surgir quando a velocidade angular constante, o que significa que o ngulo percorrido aumenta proporcionalmente ao tempo decorrido. Em outras palavras, usando
$\omega=\omega_0$
importante observar que a velocidade angular sempre medida em rela o a um sistema de refer ncia. Nesse caso, a velocidade angular constante em rela o ao sistema de refer ncia sendo usado para medi o.
A velocidade angular m dia definida como o ngulo percorrido no tempo decorrido. Como a rota o requer um eixo, este desenhado de forma ortogonal ao disco que representa o corpo que gira. Para integrar o eixo, a velocidade angular definida como um vetor em que a magnitude o ngulo percorrido por unidade de tempo e a dire o definida em fun o da dire o do eixo:
No caso de velocidade angular constante e tempo inicial conhecido, o ngulo pode ser calculado usando a seguinte f rmula:
A f rmula representada graficamente abaixo:
Esta f rmula til para calcular o ngulo girado por um objeto em situa es em que tanto a velocidade angular quanto o tempo inicial s o conhecidos. A const ncia da velocidade angular indica que a magnitude da velocidade angular n o muda com o tempo. O tempo inicial a refer ncia temporal a partir da qual o tempo decorrido medido. Portanto, o ngulo girado pelo objeto pode ser calculado diretamente multiplicando a velocidade angular pelo tempo decorrido desde o tempo inicial.
Se um objeto submetido a um modo de manter um raio constante, ele ir girar conforme indicado na figura. Ao observar a figura, notar -se que a massa realiza um movimento de transla o com uma velocidade tangencial que igual ao raio multiplicado pela velocidade angular:
No entanto, se o elemento que conecta o objeto ao eixo for cortado, o objeto continuar a se mover tangencialmente em linha reta.
A orienta o da velocidade tangencial pode ser obtida usando a regra da m o direita. Se os dedos apontam em dire o ao eixo de rota o e s o curvados em dire o ao vetor de posi o (raio), o polegar apontar na dire o da velocidade tangencial:
Para descrever a rota o de um objeto, precisamos determinar la variação de ângulo ($\Delta\theta$). Isso feito subtraindo o ângulo inicial ($\theta_0$) do valor alcan ado pelo objeto durante sua rota o, que o ângulo ($\theta$):
Para descrever o movimento de um objeto, precisamos calcular o tempo decorrido ($\Delta t$). Essa magnitude obtida medindo o tempo inicial ($t_0$) e o o tempo ($t$) desse movimento. A dura o determinada subtraindo o tempo inicial do tempo final:
Para estimar o deslocamento de um objeto, necess rio conhecer sua la velocidade angular ($\omega$) em fun o de o tempo ($t$). Portanto, introduz-se a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$), definida como a propor o entre la variação de ângulo ($\Delta\theta$) e o tempo decorrido ($\Delta t$).
Para medir isso, pode-se utilizar um sistema como o mostrado na imagem:
Para determinar a velocidade angular m dia, um elemento refletor colocado no eixo ou em um disco com v rios elementos refletores, e o movimento registrado para estimar o comprimento do arco $\Delta s$ e o ngulo associado ao raio $r$. Em seguida, a diferen a de tempo quando a marca passa diante do sensor registrada como $\Delta t$. A velocidade angular m dia determinada dividindo-se o ngulo percorrido pelo tempo decorrido.
A equa o que descreve a velocidade angular m dia :
Deve-se notar que a velocidade m dia uma estimativa da velocidade angular real. O principal problema que:
Se a velocidade angular varia durante o tempo decorrido, o valor da velocidade angular m dia pode ser muito diferente da velocidade angular m dia.
Portanto, a chave :
Determinar a velocidade em um tempo decorrido suficientemente curto para minimizar sua varia o.
No caso em que a velocidade angular constante, la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) coincide com o valor de la velocidade angular inicial ($\omega_0$), ent o
Nesse cen rio, podemos calcular o ngulo percorrido em fun o do tempo lembrando que ele est associado diferen a entre os ngulos atual e inicial, bem como o tempo atual e o inicial. Portanto, o ângulo ($\theta$) igual a o ângulo inicial ($\theta_0$), la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) conforme mostrado abaixo:
A equa o representa uma reta no espa o ngulo-tempo.
Podemos calcular la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) a partir de la velocidade ($s_0$) y la posição ($s$) usando a seguinte equa o:
La velocidade média ($\bar{v}$) pode ser calculado a partir de la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) usando:
A posi o la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) em um movimento circular pode ser calculada a partir de la variação de ângulo ($\Delta\theta$) e o rádio ($r$) da rbita utilizando a seguinte f rmula:
Como o per metro de um c rculo $2\pi r$, ERROR:6294 ao longo do c rculo corresponder ao arco percorrido por ERROR:5059, portanto:
Como o per metro de um c rculo $2\pi r$, ERROR:6294 ao longo do c rculo corresponder ao arco percorrido por ERROR:5059, portanto:
Se dividirmos a rela o entre la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o rádio ($r$) por la variação de ângulo ($\Delta\theta$),
e ent o dividirmos isso por o tempo decorrido ($\Delta t$), obtemos a rela o que nos permite calcular la velocidade ($v$) ao longo da rbita, conhecida como velocidade tangencial, que est associada a la velocidade angular ($\omega$):
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