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Interceptar a aceleración constante
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Los objetos pueden cruzarse cuando coinciden en posición en el mismo instante. Para lograrlo, deben moverse desde sus respectivas posiciones y velocidades iniciales con aceleraciones que les permitan coincidir en posición y tiempo al final del recorrido.
ID:(1412, 0)
Interceptar a aceleración constante
Descripción
Los objetos pueden cruzarse cuando coinciden en posición en el mismo instante. Para lograrlo, deben moverse desde sus respectivas posiciones y velocidades iniciales con aceleraciones que les permitan coincidir en posición y tiempo al final del recorrido.
Variables
Cálculos
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Calcule
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Ecuación
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Ecuaciones
En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
la ecuaci n de la aceleración constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), ser igual a
| $ a_0 = \bar{a} $ |
.
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
,
la ecuaci n de la aceleración constante ($a_0$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
.
(ID 3156)
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en funci n de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuaci n:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el rea bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rect ngulo:
$v_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Por lo tanto:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en funci n de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuaci n:
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el rea bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rect ngulo:
$v_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
Por lo tanto:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3157)
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuaci n de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuaci n de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos una expresi n para el camino recorrido en funci n de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuaci n de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuaci n de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
obtenemos una expresi n para el camino recorrido en funci n de la velocidad:
| $ s = s_0 +\displaystyle\frac{ v ^2- v_0 ^2}{2 a_0 }$ |
(ID 3158)
La definici n de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relaci n entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Se define la relaci n entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
en dicho intervalo de tiempo.
(ID 3678)
La definici n de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relaci n entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
y
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Se define la relaci n entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
en dicho intervalo de tiempo.
(ID 3678)
Si se parte de la posición inicial ($s_0$) y se desea calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), es necesario definir un valor para la posición ($s$).
En un sistema unidimensional, la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) se obtiene simplemente restando la posición inicial ($s_0$) de la posición ($s$), lo que da como resultado:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
Si se parte de la posición inicial ($s_0$) y se desea calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), es necesario definir un valor para la posición ($s$).
En un sistema unidimensional, la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) se obtiene simplemente restando la posición inicial ($s_0$) de la posición ($s$), lo que da como resultado:
| $ \Delta s = s - s_0 $ |
(ID 4352)
(ID 4355)
(ID 4355)
Ejemplos
(ID 15399)
En un escenario de movimiento de dos cuerpos, el primero modifica su velocidad en la diferencia de velocidad del primer cuerpo ($\Delta v_1$) durante una duración del viaje del primer objeto ($\Delta t_1$) con la aceleración del primer cuerpo ($a_1$).
| $ a_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_1 }{ \Delta t_1 }$ |
Posteriormente, el segundo cuerpo avanza, modificando su velocidad en la diferencia de velocidad del segundo cuerpo ($\Delta v_2$) durante un lapso de tiempo de la duración de viaje del segundo objeto ($\Delta t_2$) con la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$).
| $ a_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Representado gr ficamente, obtenemos un diagrama de velocidad y tiempo como se muestra a continuaci n:
La clave aqu es que los valores la diferencia de velocidad del primer cuerpo ($\Delta v_1$) y la diferencia de velocidad del segundo cuerpo ($\Delta v_2$), y los valores la duración del viaje del primer objeto ($\Delta t_1$) y la duración de viaje del segundo objeto ($\Delta t_2$), son tales que ambos cuerpos llegan a coincidir en el lugar y en el tiempo.
(ID 12512)
En el caso de dos cuerpos, el movimiento del primero puede describirse mediante una funci n que involucra los puntos el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$), el tiempo de intersección ($t$), la velocidad inicial del primer cuerpo ($v_{01}$) y la velocidad final del primer cuerpo ($v_1$), representada por una recta con una pendiente de la aceleración del primer cuerpo ($a_1$):
| $ v_1 = v_{01} + a_1 ( t - t_1 )$ |
Para el movimiento del segundo cuerpo, definido por los puntos la velocidad inicial del segundo cuerpo ($v_{02}$), la velocidad final del segundo cuerpo ($v_2$), el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$) y el tiempo de intersección ($t$), se utiliza una segunda recta con una pendiente de la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$):
| $ v_2 = v_{02} + a_2 ( t - t_2 )$ |
Esto se representa de la siguiente manera:
(ID 12515)
En el caso de un movimiento de dos cuerpos, la posici n en la que termina la trayectoria del primero coincide con la del segundo cuerpo en la posición de la intersección ($s$).
Del mismo modo, el tiempo en el que termina la trayectoria del primero coincide con el del segundo cuerpo en el tiempo de intersección ($t$).
Para el primer cuerpo, la posición de la intersección ($s$) depende de la posición inicial del primer objeto ($s_1$), la velocidad inicial del primer cuerpo ($v_{01}$), la aceleración del primer cuerpo ($a_1$), el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$), seg n:
| $ s = s_1 + v_{01} ( t - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_1 ( t - t_1 )^2$ |
Mientras que para el segundo cuerpo, la posición de la intersección ($s$) depende de la posición inicial del segundo objeto ($s_2$), la velocidad inicial del segundo cuerpo ($v_{02}$), la aceleración del segundo cuerpo ($a_2$), el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$), seg n:
| $ s = s_2 + v_{02} ( t - t_2 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_2 ( t - t_2 )^2$ |
Esto se representa como:
(ID 12513)
(ID 15402)
ID:(1412, 0)