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El comportamiento de las partículas a velocidades próximas a la velocidad de la luz es distinta a lo que conocemos de la mecánica clásica. Por ello debemos introducir los fundamentos de la llamada relatividad especial que formulo Einstein a principios del siglo pasado.

>Modelo

ID:(1590, 0)

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Imaginemos un sistema A que se desplaza horizontalmente a una velocidad $v$, y en este sistema tenemos un dispositivo que emite luz de forma vertical. Esta luz, después de ser reflejada en un espejo, vuelve a la fuente:

ID:(11777, 0)

Ecuación

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Supongamos que un fotón es emitido y medimos el tiempo que tarda en ir desde la fuente hasta el espejo, lo llamamos $\Delta t_0$. Si la longitud del instrumento es $d$ y la velocidad de la luz es $c$, entonces el tiempo de ida y vuelta es:

$\Delta t_0 =\displaystyle\frac{ d }{ c }$

Condiciones

Variables

$d$

Largo perpendicular a la dirección del movimiento

$s$

8640

$\Delta t_0$

Tiempo transcurrido en un sistema en reposo

$s$

8639

$c$

Velocidad de la luz

$m/s$

8631

Relación

ID:(11778, 0)

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Para el sistema A, el tiempo que se tarda en recorrer la distancia $d$ es igual a $\Delta t_0$, independientemente de si el sistema A se encuentra en movimiento a una velocidad constante $v$:

Esto se debe a que el concepto de movimiento es relativo y siempre debe referirse a una velocidad con respecto a un sistema particular. En este caso, el sistema B observa al sistema A y afirma que A se está desplazando a una velocidad $v$. Sin embargo, desde la perspectiva de A, se podría afirmar igualmente que A está en reposo y que es el sistema B el que se está desplazando a una velocidad $-v$.

ID:(11779, 0)

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Cuando se observa desde un sistema B que está en reposo en relación con el sistema A, se estima el tiempo como $\Delta t_v$:

Desde la perspectiva de B, el camino que recorre el fotón no solo incluye la distancia vertical $d$, sino también un trayecto horizontal adicional de $v \Delta t_v$.

ID:(11780, 0)

Ecuación

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Desde el sistema B, la distancia recorrida se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras, considerando el camino horizontal recorrido $v \Delta t_v$ y el camino vertical $d$:

$(v \Delta t_v)^2+d^2=(c \Delta t_v)^2$

De esta manera, el tiempo desde el punto de vista de B se calcula como:

$\Delta t_v =\displaystyle\frac{ d }{\sqrt{ c ^2 - v ^2}}$

Condiciones

Variables

$d$

Largo perpendicular a la dirección del movimiento

$s$

8640

$\Delta t_v$

Tiempo transcurrido en un sistema en movimiento

$s$

8638

$c$

Velocidad de la luz

$m/s$

8631

$v$

Velocidad de la partícula

$m/s$

8630

Relación

ID:(11781, 0)

Ecuación

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Dado que la distancia $d$ es ortogonal al desplazamiento, es independiente del desplazamiento horizontal, por lo que es igual en los tiempos de A:

y B:

Por lo tanto, se sigue que:

$\Delta t_v =\displaystyle\frac{ \Delta t_0 }{\sqrt{ 1 - \displaystyle\frac{ v ^2}{ c ^2}}}$

Condiciones

Variables

$\Delta t_v$

Tiempo transcurrido en un sistema en movimiento

$s$

8638

$\Delta t_0$

Tiempo transcurrido en un sistema en reposo

$s$

8639

$c$

Velocidad de la luz

$m/s$

8631

$v$

Velocidad de la partícula

$m/s$

8630

Relación

De esto se concluye que un mismo evento tiene una duración diferente según se observe desde un sistema en el que el evento está en reposo y uno en el que se está desplazando.

Este fenómeno ilustra la relatividad del tiempo, donde el tiempo percibido varía según la velocidad relativa entre observadores.

ID:(11782, 0)

Ecuación

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La dilatación temporal, calculada mediante la ecuación

puede ser expresada de manera equivalente como

de la siguiente forma:

$\Delta t_v = \gamma \Delta t_0$

Condiciones

Variables

$\gamma$

Factor de Lorentz

$-$

8629

$\Delta t_v$

Tiempo transcurrido en un sistema en movimiento

$s$

8638

$\Delta t_0$

Tiempo transcurrido en un sistema en reposo

$s$

8639

Relación

ID:(11784, 0)

Imagen

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La dilatación del tiempo, junto con la restricción de que en todos los sistemas la luz tiene la misma velocidad, conduce a la necesidad de una contracción de la distancia.

ID:(11785, 0)

Ecuación

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En el sistema B, la distancia recorrida por el sistema en movimiento A es igual a $L_0$ con una velocidad dada por:

$v=\displaystyle\frac{ L_0 }{ \Delta t_v }$

Desde la perspectiva del sistema A, la distancia recorrida es $L_v$ en un intervalo de tiempo $\Delta t_0$ con una velocidad dada por:

$v=\displaystyle\frac{ L_v }{ \Delta t_0 }$

Por lo tanto, con la dilatación del tiempo descrita como

observamos una contracción espacial como

$L_v = \displaystyle\frac{1}{ \gamma } L_0$

Condiciones

Variables

$\gamma$

Factor de Lorentz

$-$

8629

$L_v$

Largo en un sistema en movimiento

$m$

8637

$L_0$

Largo en un sistema en reposo

$m$

8636

Relación

ID:(11786, 0)