Zusammenfassung der Lattice Boltzmann Methode (LBM)
Storyboard
Die Lattice Boltzmann Methode (LBM) wurde geschaffen, um die Bearbeitungszeit bei der Lösung von hydro- und aerodynamischen Problemen zu reduzieren. Anstatt die Navier-Stokes-Differentialgleichung zu lösen, verwendet sie eine äquivalente Darstellung auf Basis der Boltzmann-Transportgleichung und reduziert den Verarbeitungsaufwand durch die Arbeit mit einem vereinfachten diskreten Phasenraum. Das Ergebnis ist ein Hochgeschwindigkeits-Simulator, der in der Lage ist, hochkomplexe Prozesse zu beschreiben.
ID:(1162, 0)
Boltzmann Gleichung
Gleichung
Boltzmann -Funktion beschreibt den Transport eines Partikelsystem durch die Verteilungsfunktion der Geschwindigkeit beschrieben:
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+v_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}=C(f)$ |
wobei der Begriff
ID:(8462, 0)
Dichte
Gleichung
Wenn die Parameter durch Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden
$ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
dann kann die Dichte wird durch Schätzung Masse erhalten werden:
$\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
ID:(8458, 0)
Geschwindigkeit es Flusses
Gleichung
Wenn die Parameter durch die Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden
$ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
dann ist die Strömungsgeschwindigkeit durch Integration der Geschwindigkeitsverteilung über alle Geschwindigkeiten gegeben und wird durch:
$\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
berechnet.
ID:(8459, 0)
Temperatur
Gleichung
Wenn die Parameter durch Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden
$ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
und es ist der Gleichverteilungssatz betrachtet wird, kann die Temperatur durch die Integration der kinetische Energie durch die Verteilung der Geschwindigkeit durch die Gas Konstante geteilt gewichtet abgeschätzt werden:
$T(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{3R\rho}\displaystyle\int (\vec{v}\cdot\vec{v})f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
ID:(8460, 0)
Spannungstensors
Gleichung
Wenn die Parameter durch Mittelung über Geschwindigkeit berechnet werden
$ \chi_k(\vec{x},t) =\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t) \chi_k(\vec{x},\vec{v},t)$ |
dann wird der Spannungstensor wird durch Integration der Strömungsgeschwindigkeitsverteilung über alle Geschwindigkeiten Gewichtung auf Geschwindigkeitsdifferenzen berechnet:
$\sigma_{ij} = m\displaystyle\int (v_i-u_i)(v_j-u_j)f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
ID:(8461, 0)
Lattice Boltzmann Method
Beschreibung
Das Problem mit Makro-Skalensystemen, die auf mikroskopischen Phänomenen basieren, ist das
- makroskopische Modelle sind zu einfach, um die Dynamik korrekt wiederzugeben
- mikroskopische Modelle zur Beschreibung der makroskopischen Wirklichkeit können nicht analytisch gelöst werden und numerische Lösungen sind schwerfällig (= erfordern viel rechnerische Ressourcen)
Die Boltzmann-Gittermethode sucht einen Zwischenpfad. Es basiert auf der Boltzmann-Transportgleichung, rettet den mikroskopischen Teil über den Kollisionstermin und implementiert eine vereinfachte Struktur zur Berechnung der makroskopischen Ergebnisse. Wir sprechen von einem mesoskopischen Ansatz wo wir nach Bedarf die mikroskopische Anstrengung reduzieren können, indem wir die Genauigkeit verlieren, aber Ressourcen sparen oder die Genauigkeit verbessern, indem wir mehr Ressourcen investieren.
ID:(8488, 0)
D2Q9 Modelle (zweidimensionale, 9 Punkte)
Bild
El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n
$\vec{e}_0=(0,0)$
\\n\\nen las esquinas\\n\\n
$\vec{e}_1=(1,0)$
(E),\\n
$\vec{e}_2=(0,1)$
(N), \\n
$\vec{e}_3=(-1,0)$
(W) y \\n
$\vec{e}_4=(0,-1)$
(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n
$\vec{e}_5=(1,1)$
(NE), \\n
$\vec{e}_6=(-1,1)$
(SE), \\n
$\vec{e}_7=(-1,-1)$
(SW) y \\n
$\vec{e}_8=(1,-1)$
(NW)
lo que se representa en la siguiente gráfica:
ID:(8496, 0)
D3Q15 Modelle (dreidimensionale, 15 Punkte)
Bild
Das D3Q15 Modell ist ein zweidimensionales Modell (D3), in dem der Knoten (Punkt center) Knoten entlang der kartesischen Achsen verbindet\\n\\n
$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) (0,0,-1)$
\\n\\nund in den Ecken des Würfels\\n\\n
$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$
was es in der folgenden Grafik dargestellt ist:
Es ist relativ einfach Modelle zu bauen vom Typ D3Q19 (einschließlich der Hälften der Seitenkanten ) oder D3Q27 (alle möglichen Punkte).
ID:(8497, 0)
Discretization Funktion
Gleichung
Für Diskretisierung in LBM arbeitet nicht Modelle mit Funktionen der Geschwindigkeit, wenn nicht mit diskreten Komponenten. So ist die Komponente
$f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$ |
wobei
ID:(8466, 0)
Streaming
Gleichung
In Streaming Prozess werden die Partikel entlang ihrer Geschwindigkeitsrichtungen von benachbarten Zellen bewegen
$f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$ |
wobei
ID:(9150, 0)
Rückprall in Wänden orthogonal zu dem Netzwerk
Bild
Wenn der Rückprall nicht an einem Punkt des Netzes sondern in einem Abstand
\\n\\ndann sollte die Funktion die Beiträge der Abweichungen berücksichtigen\\n\\n
$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$
ID:(8499, 0)
Rückprall bei geneigte Wände
Bild
Wenn die Wand eine Neigung haben bezüglich des Netzwerk es in einer komplexere Modellierung notwendig:
Allgemeine Umrandung
Zunächst muss eine ungefähre Grenze festgelegt werden um dann die entsprechende Gleichungen definiert werden. Diese wird dann innerhalb des Streamng Prozess angewandt.
ID:(8500, 0)
Beispiel von Streaming Gleichungen
Beschreibung
Im Falle eines D2Q9 Systems sind die 9 Werte ``` N[x,y] = N[x,y-1] NW[x,y] = NW[x+1,y-1] E[x,y] = E[x-1,y] NE[x,y] = NE[x-1,y-1] S[x,y] = S[x,y+1] SE[x,y] = SE[x-1,y+1] W[x,y] = W[x+1,y] SW[x,y] = SW[x+1,y+1] ```
ID:(9151, 0)
Ejemplo de elemento de Colisión
Beschreibung
En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores
$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$ |
por lo que se tiene para cada celda
```
O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)
E = E+w(rho/9)(1 + u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)
W = W+w(rho/9)(1 - u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)
N = N+w(rho/9)(1 + u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)
S = S+w(rho/9)(1 - u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)
NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - NE)
SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - SE)
NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - NW)
SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - SW)
```
con
```
u2 = u_x^2+u_y^2
```
ID:(9155, 0)
LBM Gleichung in der Entspannungs Approximation
Gleichung
In der Relaxationsnäherung wird davon ausgegangen, dass die Verteilung
$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$
die in der diskreten Approximation die Gleichung hat
$f_i(\vec{x}+c\vec{e_i}\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}(\vec{x},t)-f_i(\vec{x},t))\delta t$ |
wo der Begriff der Unterschiede in den Verteilungsfunktionen die Kollisionen darstellt.
ID:(8489, 0)
Gleichgewichtsverteilung (Gas Partikel)
Gleichung
Die Gleichgewichtsverteilung kann durch eine Maxwell-Boltzmann Verteilung angenähert werden,
$f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$ |
wobei
ID:(8490, 0)
Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook
Gleichung
En la aproximación Bhatnagar-Gross-Krook la distribución en equilibrio se asume como la de un gas de partículas sin interacción
$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$ |
con
$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$ |
con
Modelo | $\omega_i$ | Index |
1DQ3 | ? | i=0 |
- | ? | i=1, 2 |
2DQ9 | 4/9 | i=0 |
- | 1/9 | i=1,...,4 |
- | 1/36 | i=5,...,8 |
3DQ15 | 1/3 | i=0 |
- | 1/18 | i=1,...,6 |
- | 1/36 | i=7,...,14 |
3DQ19 | ? | i=0 |
- | ? | i=1,...,6 |
- | ? | i=7,...,18 |
que se determinan asegurando que la distribución equilibrio cumpla las leyes de conservación.
ID:(9084, 0)
Ejemplo Simulador Hidrodinamico
Beschreibung
En el caso de partículas de un liquido el método LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:
ID:(9156, 0)