La clave del modelo de Zaider Minerbo es la introducci n y soluci n de una ecuaci n diferencial que permite determinar como varia la probabilidad de tener una poblaci n de $i$ c lulas cancer genas en el tiempo $P_i(t)$. Para ello introduce los factores probabilidad de nacimiento de una c lula $b$, de muerte natural $d$ y de muerte por efecto del tratamiento $h$. Con ello la probabilidad varia en funci n de c lulas que alcanzan la el universo de $i$ c lulas por:

* nacimiento de una c lula en la poblaci n $P_{i-1}$
* por muerte de una c lula en la poblaci n $P_{i+1}$

Ademas considera que el n mero se reduce en la medida que:

* muere una c lula aumentando la poblaci n de $P_{i-1}$
* nace una nueva aumentando la poblaci n de $P_{i+1}$

De esta forma la ecuaci n resultante es:

$\displaystyle\frac{d}{dt}P_i=(i-1)bP_{i-1}-i[b+d+h(t)]P_i+(i+1)(d+h(t))P_{i+1}$

Para mayores detalles se puede consultar el paper original en:

Tumour control probability: a formulation applicable to any temporal protocol of dose delivery
M.Zaider and G.N.Minerbo

[Phys. Med. Biol. 45 (2000) 279x96293](http://downloads.gphysics.net/papers/ZaiderMinerbo2000.pdf)

(ID 4705)

Para resolver la ecuaci n del modelo de Zaider-Minerbo se piuede introducir la funci n generatriz

$A(s,t)=\sum_{i=0}^{\infty}P_i(t)s^i$

(ID 8809)

Con la funci n generatriz

$A(s,t)=\sum_{i=0}^{\infty}P_i(t)s^i$

con las derivadas

$P_i(t)=\displaystyle\frac{1}{i!}[\displaystyle\frac{\partial^i}{\partial s^i}A]_{s=0}$

se puede reescribir la ecuaci n de Zaider Minerbo

$\displaystyle\frac{d}{dt}P_i=(i-1)bP_{i-1}-i[b+d+h(t)]P_i+(i+1)(d+h(t))P_{i+1}$

en funci n A debe satisfacer la siguiente ecuaci n diferencial parcial:

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$

(ID 8810)

Al resolver la ecuaci n del modelo de Zaider-Minerbo

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$

se define la funci n lambda

$\Lambda(t)=e^{-\displaystyle\int_0^t[b-d-h(t')]dt'}$

(ID 8808)

El $h$ que se empela para calcular el Lambda del modelo de Zaider-Minerbo se calcula mediante la ecuaci n:

$h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

(ID 8807)

En un tiempo dt y las N c lulas se multiplicar n en una tasa b por lo que habra un total de

bNdt

c lulas nuevas. En el mismo tiempo dt de las N c lulas mor an por causas naturales una fracci n d por lo que se perder n

dNdt

Si a esto se le suma que una fracci n h muere por efecto de la radiaci n se tiene que el numero total variara en

dN=bNdt - (d+h)Ndt

o sea que el proceso esta descrito por la ecuaci n

$\displaystyle\frac{d}{dt}N=bN-(d+h(t))N$

donde la funci n h puede variar en el tiempo.

(ID 8747)

La ecuaci n del modelo de Zaider-Minerbo:

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$

La soluci n de esta ecuaci n nos llevara a poder calcular el TCP(t) ya que

TCP(t)=A(s=0,t)

Como buscamos una soluci n para la cual

A(s,0)=s^n

se puede mostrar que esta es de la forma

A(s,t)=\left[1-\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{\Lambda(t)}{1-s}+b\displaystyle\int_0^t\Lambda(t')dt'\right)}\right]

con

$\Lambda(t)=e^{-\displaystyle\int_0^t[b-d-h(t')]dt'}$

Con ello se puede mostrar que la funci n TCP es de la forma:

$TCP(t)=\prod_{i=1}^M\left[1-\displaystyle\frac{1}{\left(\Lambda(t)+b\displaystyle\int_0^t\Lambda(u)du\right)}\right]^{v_i}$

La funci n h se puede modelar con el modelo L-Q para la historia de dosis que se aplique.

(ID 4706)

El siguiente en un simulador que permite calcular el TCP tanto bajo Poisson como Zaider Minerbo asumiendo dos tipos de c lulas (tasa de nacimiento. muerte, factores $\alpha$ y $\beta$) dosis y n mero de tratamientos:

(ID 8744)

El modelo de Zaider Minerbo se basa en la ecuaci n de poblaci n

\displaystyle\frac{d}{dt}N=(b-d+h(t))N

sin embargo los nacimientos pueden estar condicionados por lo que la generalizaci n del modelo se puede basar en la ecuaci n mas general:

$\displaystyle\frac{d}{dt}N=f(N)-(d+h(t))N$

donde la funci n f debe ser modelada aparte.

(ID 4707)