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Ecuación de Probabilidad Modelo Zaider-Minerbo
Ecuación
La clave del modelo de Zaider Minerbo es la introducción y solución de una ecuación diferencial que permite determinar como varia la probabilidad de tener una población de $i$ células cancerígenas en el tiempo $P_i(t)$. Para ello introduce los factores probabilidad de nacimiento de una célula $b$, de muerte natural $d$ y de muerte por efecto del tratamiento $h$. Con ello la probabilidad varia en función de células que alcanzan la el universo de $i$ células por:
* nacimiento de una célula en la población $P_{i-1}$
* por muerte de una célula en la población $P_{i+1}$
Ademas considera que el número se reduce en la medida que:
* muere una célula aumentando la población de $P_{i-1}$
* nace una nueva aumentando la población de $P_{i+1}$
De esta forma la ecuación resultante es:
| $\displaystyle\frac{d}{dt}P_i=(i-1)bP_{i-1}-i[b+d+h(t)]P_i+(i+1)(d+h(t))P_{i+1}$ |
Para mayores detalles se puede consultar el paper original en:
Tumour control probability: a formulation applicable to any temporal protocol of dose delivery
M.Zaider and G.N.Minerbo
[Phys. Med. Biol. 45 (2000) 279–293](http://downloads.gphysics.net/papers/ZaiderMinerbo2000.pdf)
ID:(4705, 0)
Función Generatriz
Ecuación
Para resolver la ecuación del modelo de Zaider-Minerbo se piuede introducir la función generatriz
| $A(s,t)=\sum_{i=0}^{\infty}P_i(t)s^i$ |
ID:(8809, 0)
Ecuación del Modelo de Zaider-Minerbo
Ecuación
Con la función generatriz
| $A(s,t)=\sum_{i=0}^{\infty}P_i(t)s^i$ |
con las derivadas
$P_i(t)=\displaystyle\frac{1}{i!}[\displaystyle\frac{\partial^i}{\partial s^i}A]_{s=0}$
se puede reescribir la ecuación de Zaider Minerbo
| $\displaystyle\frac{d}{dt}P_i=(i-1)bP_{i-1}-i[b+d+h(t)]P_i+(i+1)(d+h(t))P_{i+1}$ |
en función A debe satisfacer la siguiente ecuación diferencial parcial:
| $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$ |
ID:(8810, 0)
Factor Lambda
Ecuación
Al resolver la ecuación del modelo de Zaider-Minerbo
| $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$ |
se define la función lambda
| $\Lambda(t)=e^{-\displaystyle\int_0^t[b-d-h(t')]dt'}$ |
ID:(8808, 0)
Función de Mortandad
Ecuación
El $h$ que se empela para calcular el Lambda del modelo de Zaider-Minerbo se calcula mediante la ecuación:
| $h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$ |
ID:(8807, 0)
Dinámica de Celulas
Ecuación
En un tiempo
células nuevas. En el mismo tiempo
Si a esto se le suma que una fracción
o sea que el proceso esta descrito por la ecuación
| $\displaystyle\frac{d}{dt}N=bN-(d+h(t))N$ |
donde la función
ID:(8747, 0)
Solución del Modelo Zaider Minerbo
Ecuación
La ecuación del modelo de Zaider-Minerbo:
| $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$ |
La solución de esta ecuación nos llevara a poder calcular el
Como buscamos una solución para la cual
se puede mostrar que esta es de la forma
con
| $\Lambda(t)=e^{-\displaystyle\int_0^t[b-d-h(t')]dt'}$ |
Con ello se puede mostrar que la función
| $TCP(t)=\prod_{i=1}^M\left[1-\displaystyle\frac{1}{\left(\Lambda(t)+b\displaystyle\int_0^t\Lambda(u)du\right)}\right]^{v_i}$ |
La función
ID:(4706, 0)
Simulador Modelos Posisson y Zaider Minerbo
Html
El siguiente en un simulador que permite calcular el TCP tanto bajo Poisson como Zaider Minerbo asumiendo dos tipos de células (tasa de nacimiento. muerte, factores $\alpha$ y $\beta$) dosis y número de tratamientos:
ID:(8744, 0)
Corrección al Modelo de Zaider Minerbo
Ecuación
El modelo de Zaider Minerbo se basa en la ecuación de población
sin embargo los nacimientos pueden estar condicionados por lo que la generalización del modelo se puede basar en la ecuación mas general:
| $\displaystyle\frac{d}{dt}N=f(N)-(d+h(t))N$ |
donde la función
ID:(4707, 0)