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Modelo de Dawson y Hillen
Descripción
El modelo de Zaider Minerbo no considera que las células tienen sus propios ciclos y que de hecho pueden multiplicarse o estar en una fase de reposo. Por ello Dawson y Hillen proponen un modelo que estudia la evolución de la población de células activas $u(t)$ y en reposo $q(t)$. Un la probabilidad por tiempo de nacer $b$, de morir en forma natural $d$, muerte de células activas $\Gamma_u(t)$ y para células en reposo $\Gamma_q(t)$ como el factor $\gamma$ que indica el ratio en que se activan o desactivan se rige por el sistema de ecuaciones
$\displaystyle\frac{d}{dt}u=-\mu u+\gamma q-\Gamma_u(t)u$
y
$\displaystyle\frac{d}{dt}q=2bu-\gamma q-\Gamma_q q(t)A$
Para mayores detalles consultar por ejemplo:
Derivation of the tumour control probability (TCP) from a cell cycle model
A. Dawsony and T. Hillen
[Journal of Theoretical Medicine Vol. 00, No. 00, January 2005, 1-27](http://downloads.gphysics.net/papers/DawsonHillen2005.pdf)
ID:(1500, 0)
Ciclo de Reproducción
Imagen
El modelo Dawson Hillen separa el ciclo en dos partes, las etapas G1, S, G2 y M en que se considera que las células están activas y G0 en que no lo están.
La etapa G1 es aquella en la célula genera proteínas, se prepara para la división y dura típicamente unas 12 horas.
En la fase S la célula duplica su ADN. La etapa dura entre 6 y 10 horas.
Luego viene la etapa G2 en que se duplican los cromosomas y lo que dura entre 2 y 6 horas.
A continuación se entra en la etapa M donde ocurre la división. Este proceso dura unos 30 minutos.
Finalmente la célula pasa a la etapa G0 en que no se modifica. Esta etapa puede demorar entre minutos y años y corresponde a la en que la célula esta inactiva respecto de la reproducción.
ID:(8804, 0)
Ecuación Celulas Activas
Ecuación
En el modelo de Dawson Hillen se incluye una población de células activas que puede pasar a estar inactiva,
$-\mu u$
donde $\mu$ es la tasa de nacimiento $b$ menos la de muerte $d$, la des-activación que lleva a una aumento en
$+\gamma q$
y la muerte por efecto del tratamiento
$-\Gamma_u u$
por lo que es:
| $\displaystyle\frac{d}{dt}u=-\mu u+\gamma q-\Gamma_u(t)u$ |
ID:(8802, 0)
Ecuación Celulas Pasivas
Ecuación
En el modelo de Dawson Hillen se incluye una población de células inactivas que puede crecer en función de que se divide,
$2\mu u$
donde $\mu$ es la tasa de nacimiento $b$ menos la de muerte $d$, la re-activación que lleva a una reducción en
$\gamma q$
y la muerte por efecto del tratamiento
$\Gamma_q q$
por lo que es:
| $\displaystyle\frac{d}{dt}q=2\mu u-\gamma q-\Gamma_q q(t)A$ |
ID:(8803, 0)
Solución por iteración celulas activas
Ecuación
Para resolver el sistema de ecuaciones se puede introducir una solución de la forma:
| $u=u_0+\epsilon u_1+\epsilon^2 u_2+\ldots $ |
para las celulas activas.
ID:(8800, 0)
Solución por iteración celulas pasivas
Ecuación
Para resolver el sistema de ecuaciones se puede introducir una solución de la forma:
| $q=q_0+\epsilon q_1+\epsilon^2 q_2+\ldots $ |
para las celulas pasivas.
ID:(8801, 0)
Probabilidad de Muerte Celulas Activas
Ecuación
El modelo de Dawson-Hillen tambien se basa en el modelo de Zaider-Minerbo y en analogía las probabilidades de muerte de celulas por tratamiento $\Gamma$ corresponden al $h$ del modelo Zaider-Minerbo. Este último cumple una ecuación de la forma
| $h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$ |
Por ello la mortandad de las celulas activas se puede modelar con:
| $\Gamma_u(t)=(\alpha_u+2\beta_u(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$ |
con $D$ la dosis que se aplica.
ID:(8805, 0)
Probabilidad de Muerte Celulas Inactivas
Ecuación
El modelo de Dawson-Hillen tambien se basa en el modelo de Zaider-Minerbo y en analogía las probabilidades de muerte de celulas por tratamiento $\Gamma$ corresponden al $h$ del modelo Zaider-Minerbo. Este último cumple una ecuación de la forma
| $h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$ |
Por ello la mortandad de las celulas inactivas se puede modelar con:
| $\Gamma_q(t)=(\alpha_q+2\beta_q(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$ |
con $D$ la dosis que se aplica.
ID:(8806, 0)
Factor Celulas Activas
Ecuación
Para el calculo del TCP se integran los factores para calcular lo que equivalen a los factores $\Lambda$:
| $F(t)=\displaystyle\int_0^t(\mu+\Gamma_u(t'))dt'$ |
ID:(8811, 0)
Factor Celulas Inactivas
Ecuación
Para el calculo del TCP se integran los factores para calcular lo que equivalen a los factores $\Lambda$:
| $G(t)=\displaystyle\int_0^t(\gamma+\Gamma_q(t'))dt'$ |
ID:(8812, 0)
TCP Dawson-Hillen
Ecuación
Finalmente el TCP asume con
| $F(t)=\displaystyle\int_0^t(\mu+\Gamma_u(t'))dt'$ |
y
| $G(t)=\displaystyle\int_0^t(\gamma+\Gamma_q(t'))dt'$ |
la forma:
| $TCP(t)=(1-e^{-F(t)})^{u(0)}(1-e^{-G(t)})^{q(0)}exp\left(-\gamma e^{-F(t)}\displaystyle\int_0^tq(z)e^{F(z)}dz+\mu e^{-2G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{2G(z)}dz-2\mu e^{-G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{G(z)}dz\right)$ |
ID:(8813, 0)
Simulación del Modelo Dawson-Hillen
Html
El modelo de Dawson y Hillen considera la poblción de as células que se estan reproduciendo $u$, descrito por la ecuación
| $\displaystyle\frac{d}{dt}u=-\mu u+\gamma q-\Gamma_u(t)u$ |
y aquellas que estan en la fase inactiva $q$
| $\displaystyle\frac{d}{dt}q=2\mu u-\gamma q-\Gamma_q q(t)A$ |
en donde $\mu$ y $\gamma$ son las fracciones de nacimiento menos la de muerte de cada población. Los factores $\Gamma$ se calculan empleando un modelo tipo Zaider-Minerbo en que
| $\Gamma_u(t)=(\alpha_u+2\beta_u(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$ |
y
| $\Gamma_q(t)=(\alpha_q+2\beta_q(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$ |
y los $\alpha$ y $\beta$ son las constantes del modelo L-Q para cada población.
Finalmente se obtiene el TCP mediante
| $TCP(t)=(1-e^{-F(t)})^{u(0)}(1-e^{-G(t)})^{q(0)}exp\left(-\gamma e^{-F(t)}\displaystyle\int_0^tq(z)e^{F(z)}dz+\mu e^{-2G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{2G(z)}dz-2\mu e^{-G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{G(z)}dz\right)$ |
en que los factores son
| $F(t)=\displaystyle\int_0^t(\mu+\Gamma_u(t'))dt'$ |
y
| $G(t)=\displaystyle\int_0^t(\gamma+\Gamma_q(t'))dt'$ |
ID:(8815, 0)