El modelo de Zaider Minerbo no considera que las c lulas tienen sus propios ciclos y que de hecho pueden multiplicarse o estar en una fase de reposo. Por ello Dawson y Hillen proponen un modelo que estudia la evoluci n de la poblaci n de c lulas activas $u(t)$ y en reposo $q(t)$. Un la probabilidad por tiempo de nacer $b$, de morir en forma natural $d$, muerte de c lulas activas $\Gamma_u(t)$ y para c lulas en reposo $\Gamma_q(t)$ como el factor $\gamma$ que indica el ratio en que se activan o desactivan se rige por el sistema de ecuaciones

$\displaystyle\frac{d}{dt}u=-\mu u+\gamma q-\Gamma_u(t)u$

y

$\displaystyle\frac{d}{dt}q=2bu-\gamma q-\Gamma_q q(t)A$

Para mayores detalles consultar por ejemplo:

Derivation of the tumour control probability (TCP) from a cell cycle model
A. Dawsony and T. Hillen

[Journal of Theoretical Medicine Vol. 00, No. 00, January 2005, 1-27](http://downloads.gphysics.net/papers/DawsonHillen2005.pdf)

(ID 1500)

El modelo Dawson Hillen separa el ciclo en dos partes, las etapas G1, S, G2 y M en que se considera que las c lulas est n activas y G0 en que no lo est n.

La etapa G1 es aquella en la c lula genera prote nas, se prepara para la divisi n y dura t picamente unas 12 horas.

En la fase S la c lula duplica su ADN. La etapa dura entre 6 y 10 horas.

Luego viene la etapa G2 en que se duplican los cromosomas y lo que dura entre 2 y 6 horas.

A continuaci n se entra en la etapa M donde ocurre la divisi n. Este proceso dura unos 30 minutos.

Finalmente la c lula pasa a la etapa G0 en que no se modifica. Esta etapa puede demorar entre minutos y a os y corresponde a la en que la c lula esta inactiva respecto de la reproducci n.

(ID 8804)

En el modelo de Dawson Hillen se incluye una poblaci n de c lulas activas que puede pasar a estar inactiva,

$-\mu u$

donde $\mu$ es la tasa de nacimiento $b$ menos la de muerte $d$, la des-activaci n que lleva a una aumento en

$+\gamma q$

y la muerte por efecto del tratamiento

$-\Gamma_u u$

por lo que es:

$\displaystyle\frac{d}{dt}u=-\mu u+\gamma q-\Gamma_u(t)u$

(ID 8802)

En el modelo de Dawson Hillen se incluye una poblaci n de c lulas inactivas que puede crecer en funci n de que se divide,

$2\mu u$

donde $\mu$ es la tasa de nacimiento $b$ menos la de muerte $d$, la re-activaci n que lleva a una reducci n en

$\gamma q$

y la muerte por efecto del tratamiento

$\Gamma_q q$

por lo que es:

$\displaystyle\frac{d}{dt}q=2\mu u-\gamma q-\Gamma_q q(t)A$

(ID 8803)

Para resolver el sistema de ecuaciones se puede introducir una soluci n de la forma:

$u=u_0+\epsilon u_1+\epsilon^2 u_2+\ldots $

para las celulas activas.

(ID 8800)

Para resolver el sistema de ecuaciones se puede introducir una soluci n de la forma:

$q=q_0+\epsilon q_1+\epsilon^2 q_2+\ldots $

para las celulas pasivas.

(ID 8801)

El modelo de Dawson-Hillen tambien se basa en el modelo de Zaider-Minerbo y en analog a las probabilidades de muerte de celulas por tratamiento $\Gamma$ corresponden al $h$ del modelo Zaider-Minerbo. Este ltimo cumple una ecuaci n de la forma

$h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

Por ello la mortandad de las celulas activas se puede modelar con:

$\Gamma_u(t)=(\alpha_u+2\beta_u(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

con $D$ la dosis que se aplica.

(ID 8805)

El modelo de Dawson-Hillen tambien se basa en el modelo de Zaider-Minerbo y en analog a las probabilidades de muerte de celulas por tratamiento $\Gamma$ corresponden al $h$ del modelo Zaider-Minerbo. Este ltimo cumple una ecuaci n de la forma

$h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

Por ello la mortandad de las celulas inactivas se puede modelar con:

$\Gamma_q(t)=(\alpha_q+2\beta_q(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

con $D$ la dosis que se aplica.

(ID 8806)

Para el calculo del TCP se integran los factores para calcular lo que equivalen a los factores $\Lambda$:

$F(t)=\displaystyle\int_0^t(\mu+\Gamma_u(t'))dt'$

(ID 8811)

Para el calculo del TCP se integran los factores para calcular lo que equivalen a los factores $\Lambda$:

$G(t)=\displaystyle\int_0^t(\gamma+\Gamma_q(t'))dt'$

(ID 8812)

Finalmente el TCP asume con

$F(t)=\displaystyle\int_0^t(\mu+\Gamma_u(t'))dt'$

y

$G(t)=\displaystyle\int_0^t(\gamma+\Gamma_q(t'))dt'$

la forma:

$TCP(t)=(1-e^{-F(t)})^{u(0)}(1-e^{-G(t)})^{q(0)}exp\left(-\gamma e^{-F(t)}\displaystyle\int_0^tq(z)e^{F(z)}dz+\mu e^{-2G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{2G(z)}dz-2\mu e^{-G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{G(z)}dz\right)$

(ID 8813)

El modelo de Dawson y Hillen considera la poblci n de as c lulas que se estan reproduciendo $u$, descrito por la ecuaci n

$\displaystyle\frac{d}{dt}u=-\mu u+\gamma q-\Gamma_u(t)u$

y aquellas que estan en la fase inactiva $q$

$\displaystyle\frac{d}{dt}q=2\mu u-\gamma q-\Gamma_q q(t)A$

en donde $\mu$ y $\gamma$ son las fracciones de nacimiento menos la de muerte de cada poblaci n. Los factores $\Gamma$ se calculan empleando un modelo tipo Zaider-Minerbo en que

$\Gamma_u(t)=(\alpha_u+2\beta_u(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

y

$\Gamma_q(t)=(\alpha_q+2\beta_q(D(t)-D(t-\omega))\displaystyle\frac{dD}{dt}$

y los $\alpha$ y $\beta$ son las constantes del modelo L-Q para cada poblaci n.

Finalmente se obtiene el TCP mediante

$TCP(t)=(1-e^{-F(t)})^{u(0)}(1-e^{-G(t)})^{q(0)}exp\left(-\gamma e^{-F(t)}\displaystyle\int_0^tq(z)e^{F(z)}dz+\mu e^{-2G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{2G(z)}dz-2\mu e^{-G(t)}\displaystyle\int_0^tu(z)e^{G(z)}dz\right)$

en que los factores son

$F(t)=\displaystyle\int_0^t(\mu+\Gamma_u(t'))dt'$

y

$G(t)=\displaystyle\int_0^t(\gamma+\Gamma_q(t'))dt'$

(ID 8815)