Utilisateur:
Loi de Gauss
Noter 
Le flux électrique ($\Phi$) est définie comme la composante normale du champ électrique, calculée à partir de le champ électrique sur la surface i ($\vec{E}_i$) et le versor normal à la surface i ($\hat{n}_i$), multipliée par a élément de surface i ($dS_i$) pour chaque élément
i, puis sommée sur toute la section :
| $ \Phi \equiv \displaystyle\sum_i \vec{E}_i\cdot\hat{n}_i\,dS_i $ |
La magnitude de le champ électrique ($E$) générée par a charge ($Q$), qui se trouvent à une distance de a distance ($r$), est calculée en utilisant a constante de champ électrique ($\epsilon_0$) et a constante diélectrique ($\epsilon$) de la manière suivante :
| $ E =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2}$ |
Étant donné que a surface d'une sphère ($S$) est avec a distance ($r$) :
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Le flux est :
$\Phi = | \vec{E} | S = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0} \displaystyle\frac{ Q }{ r ^2} 4 \pi r ^2=\displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$
À partir de cela, nous pouvons en déduire que la relation est :
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
En utilisant le élément surfacique ($dS$) pour le produit scalaire de le champ électrique ($\vec{E}$) et le versor normal à la section ($\hat{n}$), nous obtenons la version continue de la loi de Gauss :
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
Ceci correspond à la version de l'équation de Gauss découverte en 1835, qui a été publiée à titre posthume [1].
[1] 'Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte' (Propositions générales relatives aux forces d'attraction et de répulsion qui agissent en proportion inverse du carré de la distance), Carl Friedrich Gauss, Werke, 1867
ID:(15791, 0)
Représentation graphique de la loi de Gauss
Citation
La loi de Gauss considère les lignes de champ par rapport à une surface fermée.
• Si la surface n'enferme aucune charge, les lignes de champ sont conservées, c'est-à-dire qu'elles circulent autant vers l'intérieur que vers l'extérieur de la surface.
• Si la surface entoure une charge a charge totale ($Q_t$), un nombre proportionnel à cette charge est créé (charge positive) ou détruit (charge négative).
• Si la somme des charges contenues est nulle, la somme des composantes du champ perpendiculaires à la surface sera également nulle.
ID:(224, 0)
Exemple de champ nul à l'intérieur d'un conducteur
Exercer
Le fuselage d'un avion de passagers est généralement un bon conducteur d'électricité. Par conséquent, si un avion est frappé par la foudre, les charges se répartissent sur sa surface et, selon la loi de Gauss, aucun champ électrique n'est généré à l'intérieur de l'avion.
| $ E =0$ |
Ainsi, les passagers ne subissent aucun dommage et finalement, la charge continue son chemin, créant un nouvel éclair qui se déplace vers un autre endroit chargé positivement.
C'est pourquoi on considère que les éclairs ne sont pas dangereux pour les avions en vol et que chaque avion est frappé plusieurs fois par an. Cependant, il existe un risque pendant le processus d'atterrissage : si l'avion est touché par la foudre au moment où il touche le sol, les charges peuvent traverser les pneus jusqu'à la piste, générant des niveaux de chaleur qui peuvent les endommager. En général, les pilotes sont formés pour gérer des situations où le train d'atterrissage est endommagé, de sorte que le risque pour les passagers n'est pas très élevé. Cependant, les dommages à l'avion peuvent être importants et nécessiter des réparations plus étendues avant qu'il puisse reprendre son service.
ID:(11374, 0)
Loi de Gauss
Description
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
Le champ électrique sur la surface i ($\vec{E}_i$) et le versor normal à la surface i ($\hat{n}_i$), multipli s par a élément de surface i ($dS_i$) pour chaque l ment $i$, puis additionn s sur toute la section, sont gaux a charge totale ($Q_t$) divis par a constante de champ électrique ($\epsilon_0$) et a constante diélectrique ($\epsilon$) :
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
En utilisant le élément surfacique ($dS$) pour le produit scalaire de le champ électrique ($\vec{E}$) et le versor normal à la section ($\hat{n}$), nous obtenons la version continue de la loi de Gauss :
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
(ID 3213)
(ID 3842)
Le flux électrique ($\Phi$) est d finie comme la composante normale du champ lectrique, calcul e partir de le champ électrique sur la surface i ($\vec{E}_i$) et le versor normal à la surface i ($\hat{n}_i$), multipli e par a élément de surface i ($dS_i$) pour chaque l ment
i, puis somm e sur toute la section :
| $ \Phi \equiv \displaystyle\sum_i \vec{E}_i\cdot\hat{n}_i\,dS_i $ |
La magnitude de le champ électrique ($E$) g n r e par a charge ($Q$), qui se trouvent une distance de a distance ($r$), est calcul e en utilisant a constante de champ électrique ($\epsilon_0$) et a constante diélectrique ($\epsilon$) de la mani re suivante :
| $ E =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2}$ |
tant donn que a surface d'une sphère ($S$) est avec a distance ($r$) :
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Le flux est :
$\Phi = | \vec{E} | S = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0} \displaystyle\frac{ Q }{ r ^2} 4 \pi r ^2=\displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$
partir de cela, nous pouvons en d duire que la relation est :
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
(ID 11377)
Exemples
(ID 15781)
(ID 11375)
Le flux électrique ($\Phi$) est d finie comme la composante normale du champ lectrique, calcul e partir de le champ électrique sur la surface i ($\vec{E}_i$) et le versor normal à la surface i ($\hat{n}_i$), multipli e par a élément de surface i ($dS_i$) pour chaque l ment
i, puis somm e sur toute la section :
| $ \Phi \equiv \displaystyle\sum_i \vec{E}_i\cdot\hat{n}_i\,dS_i $ |
La magnitude de le champ électrique ($E$) g n r e par a charge ($Q$), qui se trouvent une distance de a distance ($r$), est calcul e en utilisant a constante de champ électrique ($\epsilon_0$) et a constante diélectrique ($\epsilon$) de la mani re suivante :
| $ E =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2}$ |
tant donn que a surface d'une sphère ($S$) est avec a distance ($r$) :
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Le flux est :
$\Phi = | \vec{E} | S = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0} \displaystyle\frac{ Q }{ r ^2} 4 \pi r ^2=\displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$
partir de cela, nous pouvons en d duire que la relation est :
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
En utilisant le élément surfacique ($dS$) pour le produit scalaire de le champ électrique ($\vec{E}$) et le versor normal à la section ($\hat{n}$), nous obtenons la version continue de la loi de Gauss :
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
Ceci correspond la version de l' quation de Gauss d couverte en 1835, qui a t publi e titre posthume [1].
[1] 'Allgemeine Lehrs tze in Beziehung auf die im verkehrten Verh ltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskr fte' (Propositions g n rales relatives aux forces d'attraction et de r pulsion qui agissent en proportion inverse du carr de la distance), Carl Friedrich Gauss, Werke, 1867
(ID 15791)
La loi de Gauss consid re les lignes de champ par rapport une surface ferm e.
• Si la surface n'enferme aucune charge, les lignes de champ sont conserv es, c'est- -dire qu'elles circulent autant vers l'int rieur que vers l'ext rieur de la surface.
• Si la surface entoure une charge a charge totale ($Q_t$), un nombre proportionnel cette charge est cr (charge positive) ou d truit (charge n gative).
• Si la somme des charges contenues est nulle, la somme des composantes du champ perpendiculaires la surface sera galement nulle.
(ID 224)
Le fuselage d'un avion de passagers est g n ralement un bon conducteur d' lectricit . Par cons quent, si un avion est frapp par la foudre, les charges se r partissent sur sa surface et, selon la loi de Gauss, aucun champ lectrique n'est g n r l'int rieur de l'avion.
| $ E =0$ |
Ainsi, les passagers ne subissent aucun dommage et finalement, la charge continue son chemin, cr ant un nouvel clair qui se d place vers un autre endroit charg positivement.
C'est pourquoi on consid re que les clairs ne sont pas dangereux pour les avions en vol et que chaque avion est frapp plusieurs fois par an. Cependant, il existe un risque pendant le processus d'atterrissage : si l'avion est touch par la foudre au moment o il touche le sol, les charges peuvent traverser les pneus jusqu' la piste, g n rant des niveaux de chaleur qui peuvent les endommager. En g n ral, les pilotes sont form s pour g rer des situations o le train d'atterrissage est endommag , de sorte que le risque pour les passagers n'est pas tr s lev . Cependant, les dommages l'avion peuvent tre importants et n cessiter des r parations plus tendues avant qu'il puisse reprendre son service.
(ID 11374)
(ID 15783)
Le flux d pend de a charge totale ($Q_t$) contenu dans le volume. Par cons quent, nous devons additionner tous les a charge i ($q_i$) contenus, ind pendamment de leur position :
| $ Q = \displaystyle\sum_ i ^ N q_i$ |
(ID 11376)
Le champ électrique sur la surface i ($\vec{E}_i$) et le versor normal à la surface i ($\hat{n}_i$), multipli s par a élément de surface i ($dS_i$) pour chaque l ment $i$, puis additionn s sur toute la section, sont gaux a charge totale ($Q_t$) divis par a constante de champ électrique ($\epsilon_0$) et a constante diélectrique ($\epsilon$) :
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
(ID 11377)
En utilisant le élément surfacique ($dS$) pour le produit scalaire de le champ électrique ($\vec{E}$) et le versor normal à la section ($\hat{n}$), et a charge totale ($Q_t$) divis par a constante de champ électrique ($\epsilon_0$) et a constante diélectrique ($\epsilon$), nous arrivons l'expression de la loi de Gauss :
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
(ID 3213)
Consid rons une charge creuse, c'est- -dire une sph re creuse avec des charges sur sa surface. Dans ce cas, nous pouvons d finir une surface interne l'int rieur de la sph re. Puisque la quantit de charge a charge totale ($Q_t$) contenue dans le volume est nulle, le champ lectrique le champ électrique ($E$) sera galement nul :
| $ E =0$ |
(ID 3842)
ID:(824, 0)