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Ballistische Flugbahn
Storyboard 
Wenn ein Objekt in einem Gravitationsfeld geworfen oder abgefeuert wird, durchläuft es zwei Arten von Bewegung:
• In der vertikalen Achse bewegt es sich aufgrund des Gravitationsfeldes und erfährt eine gravitative Beschleunigung. Für niedrige Flugbahnen kann diese Beschleunigung als konstant angesehen werden.
• In der horizontalen Achse bewegt sich das Objekt bei vernachlässigbarer Luftwiderstandskraft mit konstanter Geschwindigkeit, da keine Kraft vorhanden ist, die es beschleunigt oder abbremst.
Das Ergebnis ist das, was als ballistische Flugbahn bekannt ist, die ihre maximale Reichweite erreicht, wenn sie unter einem Winkel von 45 Grad geworfen oder abgefeuert wird.
ID:(1446, 0)
Visionen im Mittelalter
Konzept
Während des Mittelalters zeichneten sie bei der Beobachtung des Fluges einer Kanonenkugel eine Kurve, die einen steilen Anstieg und einen fast senkrechten Abfall zeigte, wie auf dem Bild zu sehen ist:
Doch beim Betrachten der kinematischen Gleichungen wird klar, dass die tatsächliche Flugbahn der Kanonenkugel sehr unterschiedlich ist. Tatsächlich handelt es sich um eine Parabel, die durch die Kombination der vertikalen Bewegung, verursacht durch die Schwerkraft, und der konstanten horizontalen Bewegung entsteht.
Mit anderen Worten: Die Zeit, die die Kugel in der Luft verbringt, wird durch ihre vertikale Bewegung bestimmt, während die in horizontaler Richtung zurückgelegte Entfernung durch ihre horizontale Geschwindigkeit bestimmt wird.
ID:(13996, 0)
Die ballistische Flugbahn
Konzept
Die ballistische Flugbahn verläuft in der Regel als umgekehrte Parabel mit einem Punkt von Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$) und Maximale Entfernung erreicht ($x_{imp}$) mit die Maximale Höhenzeit ($t_{max}$) und die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$):
Hinweis: Streng genommen sollten die Komponenten basierend auf ihren Werten auf Bodenhöhe geschätzt werden, um die Parameter der maximalen Höhe und des Aufschlagpunkts genau zu bestimmen.
ID:(12536, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$
t_imp = v_0 *sin( phi )*(1+sqrt(1+2* g * h /(v_0 ^2*sin( phi )^2)))/ g
$ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $
t_max = v_0 *sin( phi )/ g
$ v_{0x} = v_0 \cos \phi $
v_0x = v_0 *cos( phi )
$ v_{0y} = v_0 \sin \phi $
v_0y = v_0 *sin( phi )
$ x = v_{0x} t $
x = v_0x * t
$ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $
x_imp = v_0 ^2*sin( phi )*cos( phi )*(1+sqrt(1+2* g * h /( v_0 ^2*sin( phi )^2)))/ g
$ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$
y = h + v_0y * t - g * t ^2/2
$ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $
y_max = h + v_0 ^2*sin( phi )^2/(2* g )
ID:(15407, 0)
Horizontale Geschwindigkeit
Gleichung
Wenn eine Punktmasse sich mit eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, dann wird ihr Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) gleich sein:
| $ v_{0x} = v_0 \cos \phi $ |
ID:(10932, 0)
Vertikale Geschwindigkeit
Gleichung
Wenn eine Punktmasse sich mit eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, dann wird ihr Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$) gleich sein:
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
sein.
ID:(10933, 0)
Horizontale zurückgelegte Strecke
Gleichung
Das Objekt wechselt von ein Zeit ($t$) zu eine Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) Eine Position auf der x-Achse ($x$) gleich
| $ x = v_{0x} t $ |
Die Position ($s$) zurückgelegte Strecke mit Konstante Geschwindigkeit ($v_0$) bei die Ausgangsstellung ($s_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) beträgt
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$ |
Deshalb, wenn sich die Bewegung am Ursprung ($s_0=0$) zu Beginn der Zeit ($t_0=0$) befindet, wird die Bewegung durch $x=s$ und $v_0=v_{0x}$ beschrieben.
| $ x = v_{0x} t $ |
ID:(10930, 0)
Vertikale Höhe erreicht
Gleichung
Ein Objekt startet im terrestrischen Feld mit einer Geschwindigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), unter einem Winkel von eine Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) und erreicht bei ein Zeit ($t$) eine Höhe von eine Position auf der y-Achse ($y$).
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Für den Fall, dass konstante Beschleunigung ($a_0$) der Erdbeschleunigung entspricht ($a_0=-g$), kann die vertikale Trajektorie mithilfe der Gleichung für die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$), die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) berechnet werden:
| $ s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} a_0 ( t - t_0 )^2$ |
Im Szenario, dass die Bewegung bei die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) ($s_0=h$), der Startzeit ($t_0$) ($t_0=0$) und die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$) ($v_0=v_{0y}$) beginnt, kann die Bewegung durch die Formel beschrieben werden:
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Hinweis: Wenn das Ziel höher liegen soll als das Geschütz, sollte ein negativer Winkel von eine Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) verwendet werden.
ID:(10931, 0)
Aufprallzeit
Gleichung
Wenn sich ein Objekt mit einer Geschwindigkeit von eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter einem Winkel von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, kann die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$) unter Verwendung von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) berechnet werden:
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
Um die Aufschlagzeit zu bestimmen, können wir die Gleichung von die Position auf der y-Achse ($y$) verwenden, die von die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$), die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$) abhängt, wobei die Höhe null ist:
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Dies ergibt eine Zeit:
$t=\displaystyle\frac{ v_{y0} +\sqrt{ v_{0y} ^2 + 2 g h }}{g}$
Mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Maximale Höhe erreicht ($\phi$):
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$) ist:
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
ID:(10934, 0)
Aufprallentfernung
Gleichung
Wenn ein Objekt sich mit einer Geschwindigkeit von eine Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt und unter einem Winkel von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, können die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) mit der folgenden Formel berechnet werden:
| $ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $ |
Da die Zeit zu einschlag ($t_{imp}$) mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$), der Maximale Höhe erreicht ($\phi$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$) ist
| $ t_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 \sin \phi }{ g }\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{ 2 g h }{ v_0 ^2 \sin^2 \phi }}\right)$ |
dann ist die Position auf der x-Achse ($x$) mit die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) und der Zeit ($t$)
| $ x = v_{0x} t $ |
und die Horizontale Geschwindigkeit ($v_{0x}$) mit die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und der Maximale Höhe erreicht ($\phi$)
| $ v_{0x} = v_0 \cos \phi $ |
somit erhalten wir
| $ x_{imp} =\displaystyle\frac{ v_0 ^2\sin \phi \cos \phi }{ g }\left(1 + \sqrt{1 + \displaystyle\frac{2 g h }{ v_0 ^2\sin^2 \phi }}\right) $ |
ID:(10935, 0)
Maximale Höhenzeit
Gleichung
Wenn ein Objekt mit einer Geschwindigkeit von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) bewegt wird und unter einem Winkel von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) relativ zur Oberfläche abgeschossen wird, kann die Höhe, auf der es sein Ziel Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$) erreicht, wie folgt berechnet werden:
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
Die Maximale Höhenzeit ($t_{max}$) wird erreicht, wenn die Position auf der y-Achse ($y$) einen maximalen Wert erreicht. Diese Höhe kann mit die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$), die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Zeit ($t$) berechnet werden,
deren Ableitung nach der Zeit am Maximum null ist, was bedeutet:
$\displaystyle\frac{dy}{dt}=v_{0,y}-gt=0$
Daher haben wir mit dem Ausdruck für die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$),
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
dass
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
ID:(10936, 0)
Maximale Höhe
Gleichung
Wenn das Ziel sich in einer Entfernung von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) befindet und aus einer Höhe von ein Maximale Höhe erreicht ($\phi$) über der Oberfläche abgefeuert wird, mit einer Geschwindigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$), dann kann die Höhe, die es erreichen wird, der Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$), wie folgt berechnet werden:
| $ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $ |
Der Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$) wird mit eine Maximale Höhenzeit ($t_{max}$) mit der Maximale Höhe erreicht ($\phi$), die Konstante Geschwindigkeit ($v_0$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) erreicht,
| $ t_{max} =\displaystyle\frac{ v_0 }{ g }\sin \phi $ |
womit wir die Position auf der y-Achse ($y$) mit die Höhe, auf die geschossen werden soll ($h$), die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$) und der Zeit ($t$) durch die Gleichung bestimmen können
| $ y = h + v_{0y} t -\displaystyle\frac{1}{2} g t ^2$ |
Somit, mit die Vertikale Geschwindigkeit ($v_{0y}$),
| $ v_{0y} = v_0 \sin \phi $ |
ist es bei der Maximale Höhe erreicht ($y_{max}$)
| $ y_{max} = h + \displaystyle\frac{ v_0 ^2}{2 g }\sin^2 \phi $ |
ID:(10937, 0)