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Couple avec moment d'inertie constant
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à 
Calculs
Variable
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Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
Comme a vitesse moyenne ($\bar{v}$) est avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$), gal
et avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) exprim comme un arc de cercle, et le radio ($r$) et a variation d'angle ($\Delta\theta$) sont
et la d finition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) est
alors,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Comme la relation est g n rale, elle peut tre appliqu e pour des valeurs instantan es, ce qui donne
Comme a vitesse moyenne ($\bar{v}$) est avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$), gal
et avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) exprim comme un arc de cercle, et le radio ($r$) et a variation d'angle ($\Delta\theta$) sont
et la d finition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) est
alors,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Comme la relation est g n rale, elle peut tre appliqu e pour des valeurs instantan es, ce qui donne
Comme a vitesse moyenne ($\bar{v}$) est avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$), gal
et avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) exprim comme un arc de cercle, et le radio ($r$) et a variation d'angle ($\Delta\theta$) sont
et la d finition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) est
alors,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Comme la relation est g n rale, elle peut tre appliqu e pour des valeurs instantan es, ce qui donne
La d finition de l'acc l ration angulaire moyenne repose sur l'angle parcouru
et le temps coul
La relation entre les deux est d finie comme l'acc l ration angulaire moyenne
pendant cet intervalle de temps.
tant donn que a accélération moyenne ($\bar{a}$) est gal a différence de vitesse ($\Delta v$) et le temps écoulé ($\Delta t$) selon
et que a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est gal a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) et le temps écoulé ($\Delta t$) conform ment
il en d coule que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
En supposant que a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est gal a accélération angulaire constante ($\alpha_0$)
et en supposant que a accélération moyenne ($\bar{a}$) est gal a accélération constante ($a_0$)
on obtient l' quation suivante :
Si nous supposons que a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est constant, quivalent a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), alors l' quation suivante s'applique :
Par cons quent, en consid rant a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) avec a vitesse angulaire ($\omega$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) :
et le temps écoulé ($\Delta t$) en relation avec le temps ($t$) et le temps initial ($t_0$) :
l' quation pour a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) :
peut tre exprim e comme suit :
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
En r solvant cela, nous obtenons :
Comme le moment est gal
il en d coule que dans le cas o le moment d'inertie ne change pas avec le temps,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
ce qui implique que
La relation entre le moment cinétique ($L$) et le moment ($p$) sexprime comme suit :
En utilisant le radio ($r$), cette expression peut être mise en équation avec le moment d'inertie ($I$) et a vitesse angulaire ($\omega$) de la manière suivante :
Puis, en remplaçant avec a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$) :
et
on conclut que le moment dinertie dune particule en rotation sur une orbite est :
Dans le cas de a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), a vitesse angulaire ($\omega$) en fonction de le temps ($t$) suit une relation lin aire avec le temps initial ($t_0$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) sous la forme :
tant donn que le d placement angulaire est gal l'aire sous la courbe de vitesse angulaire-temps, dans ce cas, on peut ajouter les contributions du rectangle :
$\omega_0(t-t_0)$
et du triangle :
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Cela nous m ne l'expression pour le angle ($\theta$) et le angle de départ ($\theta_0$) :
Si nous r solvons le temps dans l' quation de a vitesse angulaire ($\omega$) qui inclut les variables a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$), le temps ($t$), le temps initial ($t_0$) et a accélération angulaire constante ($\alpha_0$) :
nous obtenons l'expression suivante pour le temps :
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Cette solution peut tre substitu e dans l' quation pour calculer le angle ($\theta$) en utilisant le angle de départ ($\theta_0$) de la mani re suivante :
ce qui donne la formule suivante :
tant donn que le moment ($p$) est d fini avec a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$),
Si a masse d'inertie ($m_i$) est gal a masse initiale ($m_0$), alors nous pouvons d river la quantit de mouvement par rapport au temps et obtenir a force à masse constante ($F$) :
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Par cons quent, nous en concluons que
Exemples
Pour d crire le mouvement d'un objet, nous devons calculer le temps écoulé ($\Delta t$). Cette grandeur est obtenue en mesurant le temps initial ($t_0$) et le le temps ($t$) de ce mouvement. La dur e est d termin e en soustrayant le temps initial du temps final :
Pour d crire la rotation d'un objet, nous devons d terminer a variation d'angle ($\Delta\theta$). Cela se fait en soustrayant le angle de départ ($\theta_0$) de le angle ($\theta$), la valeur atteinte par l'objet pendant sa rotation:
Similaire la relation qui existe entre la vitesse lin aire et la vitesse angulaire, repr sent e par l' quation :
nous pouvons tablir une relation entre le moment angulaire et le moment de translation. Cependant, dans cette instance, le facteur multiplicatif n'est pas le rayon, mais plut t le moment. La relation est exprim e comme :
Similaire la relation qui existe entre la vitesse lin aire et la vitesse angulaire, repr sent e par l' quation :
nous pouvons tablir une relation entre le moment angulaire et le moment de translation. Cependant, dans cette instance, le facteur multiplicatif n'est pas le rayon, mais plut t le moment. La relation est exprim e comme :
L'acc l ration est d finie comme le changement de vitesse angulaire par unit de temps.
Par cons quent, l'acc l ration angulaire a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) peut tre exprim e en termes de vitesse angulaire a vitesse angulaire ($\omega$) et de temps a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) comme suit :
Nous pouvons calculer a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) partir de a vitesse ($s_0$) et a position ($s$) gr ce l' quation suivante :
L'acc l ration correspond la variation de la vitesse par unit de temps.
Il est donc n cessaire de d finir a différence de vitesse ($\Delta v$) en fonction de a vitesse ($v$) et a vitesse initiale ($v_0$) comme suit :
De mani re similaire au cas de la translation, o le troisi me principe nonce que chaque action a une r action gale et oppos e :
Le concept analogue en rotation est
Avec a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), a vitesse angulaire ($\omega$) tablit une relation lin aire avec le temps ($t$), int grant galement les variables a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) et le temps initial ($t_0$) comme suit :
Cette quation repr sente une droite dans le plan de la vitesse angulaire par rapport au temps.
Selon Galil e, les corps ont tendance maintenir leur tat de mouvement, c'est- -dire le moment
$\vec{p} = m\vec{v}$
doit rester constant. Si une action agit sur le syst me et affecte son mouvement, cela se traduit par une variation du moment. La diff rence entre le moment initial $\vec{p}_0$ et le moment final $\vec{p}$ peut tre exprim e comme suit:
Comme le p rim tre d'un cercle est $2\pi r$, ERROR:6294 le long du cercle correspondra l'arc parcouru par ERROR:5059, donc :
Comme le p rim tre d'un cercle est $2\pi r$, ERROR:6294 le long du cercle correspondra l'arc parcouru par ERROR:5059, donc :
Comme le p rim tre d'un cercle est $2\pi r$, ERROR:6294 le long du cercle correspondra l'arc parcouru par ERROR:5059, donc :
Si nous divisons la relation entre a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le radio ($r$) par a variation d'angle ($\Delta\theta$),
et puis la divisons par le temps écoulé ($\Delta t$), nous obtenons la relation qui nous permet de calculer a vitesse ($v$) le long de l'orbite, connue sous le nom de vitesse tangentielle, qui est associ e a vitesse angulaire ($\omega$):
Si nous divisons la relation entre a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le radio ($r$) par a variation d'angle ($\Delta\theta$),
et puis la divisons par le temps écoulé ($\Delta t$), nous obtenons la relation qui nous permet de calculer a vitesse ($v$) le long de l'orbite, connue sous le nom de vitesse tangentielle, qui est associ e a vitesse angulaire ($\omega$):
Si nous divisons la relation entre a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le radio ($r$) par a variation d'angle ($\Delta\theta$),
et puis la divisons par le temps écoulé ($\Delta t$), nous obtenons la relation qui nous permet de calculer a vitesse ($v$) le long de l'orbite, connue sous le nom de vitesse tangentielle, qui est associ e a vitesse angulaire ($\omega$):
Si nous divisons la relation entre a vitesse moyenne ($\bar{v}$), le radio ($r$) et a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$), exprim e dans l' quation suivante :
par la valeur de le temps écoulé ($\Delta t$), nous pouvons obtenir le facteur qui nous permet de calculer l'acc l ration angulaire le long de l'orbite :
Le moment ($p$) a t d fini comme le produit de a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$), ce qui est gal :
L'analogie de a vitesse ($v$) dans le cas de la rotation est a vitesse angulaire instantanée ($\omega$), donc l' quivalent de le moment ($p$) devrait tre un le moment cinétique ($L$) de la forme :
a masse d'inertie ($m_i$) est associ l'inertie dans la translation d'un corps, donc le moment d'inertie ($I$) correspond l'inertie dans la rotation d'un corps.
Le moment ($p$) a t d fini comme le produit de a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$), ce qui est gal :
L'analogie de a vitesse ($v$) dans le cas de la rotation est a vitesse angulaire instantanée ($\omega$), donc l' quivalent de le moment ($p$) devrait tre un le moment cinétique ($L$) de la forme :
a masse d'inertie ($m_i$) est associ l'inertie dans la translation d'un corps, donc le moment d'inertie ($I$) correspond l'inertie dans la rotation d'un corps.
Le moment ($p$) a t d fini comme le produit de a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$), ce qui est gal :
L'analogie de a vitesse ($v$) dans le cas de la rotation est a vitesse angulaire instantanée ($\omega$), donc l' quivalent de le moment ($p$) devrait tre un le moment cinétique ($L$) de la forme :
a masse d'inertie ($m_i$) est associ l'inertie dans la translation d'un corps, donc le moment d'inertie ($I$) correspond l'inertie dans la rotation d'un corps.
Similaire la relation qui existe entre la vitesse lin aire et la vitesse angulaire, repr sent e par l' quation :
nous pouvons tablir une relation entre le moment angulaire et le moment de translation. Cependant, dans cette instance, le facteur multiplicatif n'est pas le rayon, mais plut t le moment. La relation est exprim e comme :
tant donn que le d placement total correspond l'aire sous la courbe de vitesse angulaire par rapport au temps, dans le cas de une accélération angulaire constante ($\alpha_0$), il est d termin que le d placement le angle ($\theta$) avec les variables le angle de départ ($\theta_0$), le temps ($t$), le temps initial ($t_0$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) est le suivant :
Cette expression correspond la forme g n rale d\'une parabole.
Dans le cas de a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), la fonction de a vitesse angulaire ($\omega$) par rapport le temps ($t$), avec les variables suppl mentaires a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) et le temps initial ($t_0$), est exprim e par l' quation :
partir de cette quation, il est possible de calculer la relation entre le angle ($\theta$) et le angle de départ ($\theta_0$), ainsi que le changement de vitesse angulaire :
Dans le cas o le moment d'inertie est constant, la d riv e du moment angulaire est gale
ce qui implique que le couple est gal
Cette relation correspond l' quivalent de la deuxi me loi de Newton pour la rotation au lieu de la translation.
Dans le cas de la translation, le deuxi me principe d finit comment le mouvement de translation est g n r avec la d finition de la force
Dans le cas de la rotation, sur un intervalle de temps $\Delta t$, le moment angulaire $\Delta L$ change selon :
Le taux auquel la vitesse angulaire varie dans le temps est d fini comme a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$). Pour le mesurer, il est n cessaire d'observer a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) et le temps écoulé ($\Delta t$).
L' quation qui d crit a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est la suivante :
A force ($F$) est d fini comme a variation de l'élan ($\Delta p$) par le temps écoulé ($\Delta t$), qui est d fini par la relation :
Puisque la relation entre le moment angulaire et le moment est
sa d riv e temporelle nous conduit la relation du moment de force
La rotation du corps se produit autour d'un axe dans la direction du moment de force, qui passe par le centre de masse.
Dans le cas o a masse d'inertie ($m_i$) est gal a masse initiale ($m_0$),
la d riv e de la quantit de mouvement sera gale la masse multipli e par la d riv e de a vitesse ($v$). Comme la d riv e de la vitesse est a accélération instantanée ($a$), nous avons que a force à masse constante ($F$) est gal
Pour une particule de masse a masse ponctuelle ($m$) orbitant autour dun axe à une distance le radio ($r$), la relation peut être déterminée en comparant le moment cinétique ($L$), exprimé en fonction de le moment d'inertie ($I$) et le moment ($p$), ce qui donne :
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