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Momento de inercia
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El momento de inercia es el factor en rotación que equivale a la masa en la traslación.
El momento de inercia se puede determinar empíricamente haciendo rotar un cuerpo en torno a un eje o calculando como se distribuye la masa en torno al eje.
ID:(600, 0)
Momento de inercia de una partícula fuera del eje
Ecuación
Una aplicación simple del teorema de Steiner es una masa puntual $m$ a una distancia $L$ del eje. Dado que una masa puntual no tiene dimensiones, no tiene momento de inercia con respecto a su centro de masa. Sin embargo, como el centro de masa está a una distancia de $L$ del eje según el teorema de Steiner,
| $ I = I_{CM} + m d ^2$ |
su momento de inercia será
 $ I = m L ^2$ |
.
ID:(9880, 0)
Método de cálculo de momento de inercia
Ecuación
El momento de inercia total $I_t$ de un objeto se calcula sumando los momentos de inercia de sus componentes que son comparables al momento de inercia de una partícula individual,
| $ I = m r ^2$ |
lo que nos lleva a un momento de inercia resultante de
| $I_t=\sum_kI_k$ |
.
ID:(4438, 0)
Calculo del momento de inercia de un cuerpo
Ecuación
Si el eje no varia y la distribución de la masa no varia el momento de inercia es constante se tiene que es
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
Para calcular el momento de inercia de un cuerpo se debe considerar este desglosado en pequeños volúmenes que se suman para obtener el momento de inercia total
| $I_t=\sum_kI_k$ |
Como los momentos de inercia de masas
| $ I = m r ^2$ |
\\n\\npor lo que si se define la masa como la densidad
$I=\displaystyle\sum_k I_k =\displaystyle\sum_k m_k r_k^2 = \displaystyle\sum_k \rho r_k^2 dV \rightarrow \displaystyle\int_V \rho r^2 dV$
por lo que
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
ID:(10583, 0)
Barra que rota en torno a un eje $\perp$
Imagen
Una barra de masa $m$ y longitud $l$ que gira alrededor de su centro, que coincide con el centro de masa:
ID:(10962, 0)
Momento de inercia de barra de largo $l$ eje $\perp$
Ecuación
El momento de inercia de una barra en rotación alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
.
ID:(4432, 0)
Cilindro que rota en torno a eje $\parallel$
Imagen
Una rotación de un cilindro con masa $m$ y radio $r$ alrededor del eje del cilindro, donde el centro de masa (CM) se encuentra a media altura:
ID:(10964, 0)
Momento de inercia de cilindro, eje $\parallel$
Ecuación
El momento de inercia de un cilindro que rota alrededor de un eje paralelo ($\parallel$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
ID:(4434, 0)
Cilindro que rota en torno a eje $\perp$
Imagen
En esta situación, un cilindro con masa $m$, radio $r$ y altura $h$ está girando alrededor de un eje que es perpendicular a su propio eje. Este eje pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, donde se localiza el centro de masa (CM):
ID:(10965, 0)
Momento de inercia de cilindro, eje $\perp$
Ecuación
El momento de inercia de un cilindro que gira alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$ |
.
ID:(4435, 0)
Momento de inercia de paralelepípedo regular
Imagen
Un paralelepípedo rectángulo con masa $m$, lados $a$ y $b$, y perpendicular al eje de rotación, está girando alrededor de su centro de masa, que se encuentra en el centro geométrico del cuerpo:
ID:(10973, 0)
Momento de inercia de paralelepípedo recto
Ecuación
El momento de inercia de un paralelepípedo en rotación alrededor de un eje que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y luego sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
esto da como resultado
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
.
ID:(4433, 0)
Paralelepípedo recto
Imagen
Para un paralelepípedo recto con masa $m$ y lado $a$, el centro de masa se encuentra en el centro geométrico:
ID:(10963, 0)
Momento de inercia de cubo recto
Ecuación
El momento de inercia de un cubo que rota en torno a un eje que pasa por el centro se obtiene segmentando el cuerpo en pequeños volúmenes sumando:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
resultando
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{6} m a ^2$ |
ID:(10972, 0)
Momento de inercia de una esfera
Ecuación
El momento de inercia de una esfera en rotación alrededor de un eje que atraviesa su centro se obtiene mediante la segmentación del cuerpo en pequeños volúmenes y sumando:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
ID:(4436, 0)
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