Utilisateur:
Pendule mathématique
Description 
Dans le cas dun pendule avec une masse ponctuelle, lénergie potentielle est générée en élevant la masse contre le champ gravitationnel à mesure que le pendule se dévie dun angle donné.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
(ID 3687)
L' nergie potentielle gravitationnelle d'un pendule avec une masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
o
Pour de petits angles, la fonction cosinus peut tre approxim e par le d veloppement en s rie de Taylor jusqu' l'ordre deux
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Cette approximation conduit une simplification de l' nergie potentielle en
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
(ID 4514)
A énergie cinétique de la masse ponctuelle ($K$), en relation avec a masse d'inertie ($m_i$), a longueur du pendule ($L$) et a vitesse angulaire ($\omega$), sexprime par :
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
De la même manière, a énergie potentielle du pendule ($V$), en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$) et a masse gravitationnelle ($m_g$), est donnée par :
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
En considérant a angle d'oscillation ($\theta$), léquation de lénergie totale sécrit :
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}m g r \theta^2$
Étant donné que a période ($T$) est égal à :
$T = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{m r^2}{m g r}} = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{r}{g}}$
On peut alors établir la relation pour a fréquence angulaire du pendule mathématique ($\omega_0$) sous la forme :
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
(ID 12338)
(ID 12552)
En utilisant le nombre complexe
introduit dans
nous obtenons
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
ainsi, la vitesse est obtenue comme la partie r elle
(ID 14076)
Exemples
Une mani re efficace d' tudier loscillation dun pendule math matique consiste repr senter son mouvement dans lespace des phases, qui d crit le syst me en fonction du moment et de la position. Dans ce cas, le moment correspond au moment angulaire, tandis que la position est exprim e par langle de d viation :
(ID 15849)
Un pendule est décrit comme une a masse gravitationnelle ($m_g$) suspendue à une corde fixée à laxe de rotation, à une distance a longueur du pendule ($L$). On lappelle pendule mathématique car il représente une idéalisation du pendule physique, dans laquelle la masse est considérée comme ponctuelle, cest-à-dire concentrée en un seul point.
(ID 7098)
Un pendule est constitué de a masse gravitationnelle ($m_g$), suspendu à une corde fixée à laxe de rotation de a longueur du pendule ($L$). Ce modèle est connu sous le nom de pendule mathématique, car il représente une idéalisation du pendule physique dans laquelle toute la masse est concentrée en un seul point.
(ID 1180)
(ID 15852)
ID:(1420, 0)