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Gleichung der Umlaufbahn
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In the case that a body is raised against gravitational force by a given height, gravitational potential energy is obtained that is proportional to mass, gravitational acceleration and height.
ID:(1422, 0)
Gleichung der Umlaufbahn
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Wenn ein Körper gegen die Gravitationskraft auf eine bestimmte Höhe angehoben wird, gewinnt er potenzielle Gravitationsenergie, die proportional zu seiner Masse, der Gravitationsbeschleunigung und der erreichten Höhe ist.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ndern, kann mithilfe der Definition
berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit
erhalten wir
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdr cke ergibt sich die Gleichung
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Damit ndert sich die Energie gem
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Wir k nnen dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren
Die Arbeits Varianz ($\Delta W$), die erforderlich ist, damit ein Objekt von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) auf die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wechselt, wird durch das Anwenden eines der Drehmoment ($T$) erzeugt, das eine Winkelverschiebung die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$) verursacht, gemäß:
Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes für Rotation in Bezug auf der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
oder unter Verwendung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):
ergibt sich:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Durch Verwendung der Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):
resultiert:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
wobei die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) sich ausdrückt als:
Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit angenähert werden:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Durch die Kombination beider Ausdrücke ergibt sich:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Daher ergibt sich der Energieänderungsausdruck:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Damit kann die Rotationskinetik wie folgt definiert werden:
Die Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) wird wie folgt ausgedrückt:
Unter Verwendung von der Radius ($r$) lässt sich dieser Ausdruck mit der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wie folgt gleichsetzen:
Durch anschließendes Ersetzen mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$):
und
ergibt sich schließlich, dass das Trägheitsmoment einer Teilchenmasse, die sich auf einer Umlaufbahn dreht, gleich ist:
Analog zur Beziehung zwischen die Geschwindigkeit ($v$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) über der Radius ($r$), dargestellt durch die Gleichung:
kann eine Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) im Kontext der Translation hergestellt werden. In diesem Fall ist der Multiplikationsfaktor jedoch nicht der Arm ($r$), sondern der Moment ($p$). Diese Beziehung wird beschrieben durch:
Die Gesamte kinetische Energie ($K$) entspricht der Summe von die Translational Kinetic Energy ($K_t$) und die Kinetische energie der rotation ($K_r$):
Da die Translational Kinetic Energy ($K_t$) in Abhängigkeit von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) ausgedrückt wird:
und die Kinetische energie der rotation ($K_r$) in Abhängigkeit von der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) definiert ist:
ergibt sich schließlich:
Weil die Gravitationskraft ist
Um eine Masse $m$ von einem Abstand $r_1$ zu einem Abstand $r_2$ vom Zentrum des Planeten zu bewegen, wird eine potenzielle Energie ben tigt
was zur Gravitationalen potenziellen Energie f hrt als
$W_2-W_1=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}\displaystyle\frac{GmM}{r^2}dr=\displaystyle\frac{GmM}{r_1}-\displaystyle\frac{GmM}{r_2}$
somit erhalten wir
Die Totale Energie ($E$) hängt von die Gesamte kinetische Energie ($K$) und die Allgemeine Gravitationspotentialenergie ($V$) ab, gemäß:
Befindet sich das Objekt in einer Umlaufbahn, setzt sich die Gesamte kinetische Energie ($K$) aus einem Translationsanteil und einem Rotationsanteil zusammen. Unter Berücksichtigung von die Träge Masse ($m_i$), die Geschwindigkeit ($v$), der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) ergibt sich:
Da der Angular Momentum ($L$) ist:
und mit die Abstand zum Mittelpunkt des Himmelskörpers ($r$) erhält man:
Auf der anderen Seite ist das Gravitationspotential, ausgedrückt durch die Masse des Himmelskörpers ($M$), die Gravitationsmasse ($m_g$) und die Gravitationskonstante ($G$):
Daraus folgt schließlich:
Beispiele
Die Translational Kinetic Energy ($K_t$) wird in Abhängigkeit von die Geschwindigkeit ($v$) und die Träge Masse ($m_i$) bestimmt, gemäß:
5288 ist mit 6290 und nicht mit 8762 verbunden, auch wenn sie numerisch gleich sind. Die Energie, die ein Objekt besitzt, ist eine direkte Folge der Trägheit, die überwunden werden musste, um seine Bewegung zu erreichen.
Die Kinetische energie der rotation ($K_r$) ist eine Funktion von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und eines Trägheitsmaßes, das durch der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) dargestellt wird:
Die Gesamte kinetische Energie ($K$) kann aus Translations- und/oder Rotationsanteilen bestehen. Daher ergibt sie sich als Summe von die Translational Kinetic Energy ($K_t$) und die Kinetische energie der rotation ($K_r$):
Die Gesamte kinetische Energie ($K$) kann berechnet werden, wenn sowohl eine Translation abhängig von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) als auch eine Rotation abhängig von der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) vorliegt:
Die allgemeine gravitative Kraft wird ausgedr ckt als
w hrend die Energie
gezeigt werden kann, dass sie in diesem Fall
ist.
Die Totale Energie ($E$) entspricht der Summe von die Gesamte kinetische Energie ($K$) und die Potenzielle Energie ($V$):
Für eine Partikel mit der Masse die Punkt Messe ($m$), die sich in einem Abstand von der Radius ($r$) um eine Achse bewegt, kann die Beziehung durch den Vergleich von der Angular Momentum ($L$) hergestellt werden, wobei der Angular Momentum ($L$) in Abhängigkeit von der Massenträgheitsmoment ($I$) und der Moment ($p$) ausgedrückt wird. Das ergibt:
Der Angular Momentum ($L$) ist das Analogon zu der Moment ($p$). Entsprechend gilt: Während es bei der Translation dem Produkt von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) entspricht, ergibt es sich bei der Rotation aus der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) gemäß der Beziehung:
Die Massen, die Newton in seinen Prinzipien verwendete, sind mit der Tr gheit der K rper verbunden, was zum Konzept von die Träge Masse ($m_i$) f hrt.
Das nach Newton benannte Gesetz, das die Kraft zwischen K rpern aufgrund ihrer Massen beschreibt, ist mit der Gravitation verbunden und wird daher als die Gravitationsmasse ($m_g$) bezeichnet.
Empirisch wurde festgestellt, dass beide Massen quivalent sind, und daher definieren wir
Einstein war derjenige, der diese Gleichheit in Frage stellte und von diesem Zweifel aus verstand, warum beide in seiner Gravitationstheorie "gleich erscheinen". In seinem Argument erkl rte Einstein, dass Massen den Raum verformen, und diese Raumverformung f hrt zu einer Ver nderung des Verhaltens von K rpern. Auf diese Weise erweisen sich die Massen als quivalent. Das revolution re Konzept der Raumkr mmung impliziert, dass selbst Licht, das keine Masse hat, von Himmelsk rpern beeinflusst wird, was der Gravitationstheorie von Newton widerspricht. Dies wurde experimentell durch die Untersuchung des Verhaltens von Licht w hrend einer Sonnenfinsternis nachgewiesen. In dieser Situation werden Lichtstrahlen aufgrund der Anwesenheit der Sonne abgelenkt, was es erm glicht, Sterne hinter ihr zu beobachten.
Die Totale Energie ($E$) hängt von der kinetischen Energie der radialen Bewegung ab, die durch die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) bestimmt wird; von der Rotationsenergie, die von der Angular Momentum ($L$) und die Abstand zum Mittelpunkt des Himmelskörpers ($r$) abhängt; sowie von der potenziellen Energie, die von die Masse des Himmelskörpers ($M$), die Gravitationsmasse ($m_g$) und die Gravitationskonstante ($G$) abhängt:
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