Utilisateur:
Expérience de vidage de colonne
Définition 
Cela signifie qu'à mesure que la colonne se vide et que la hauteur $h$ diminue, la vitesse $v$ diminue également de manière proportionnelle.
Les paramètres clés sont :
• Diamètre intérieur du récipient : 93 mm
• Diamètre intérieur du canal d'évacuation : 3 mm
• Longueur du canal d\'évacuation : 18 mm
Ces paramètres sont importants pour comprendre et analyser le processus de vidage de la colonne et comment la vitesse de sortie varie avec la hauteur.
ID:(9870, 0)
Vidange de la colonne de liquide visqueux
Storyboard
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
Si nous examinons le profil de ERROR:5449,0 pour un fluide dans un canal cylindrique, o a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) varie en fonction de ERROR:10120,0 selon l'expression suivante :
avec le rayon du tube ($R$) et a vitesse maximal ($v_{max}$). Nous pouvons calculer a vitesse maximal ($v_{max}$) en utilisant a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), et le longueur du tube ($\Delta L$) comme suit :
Si nous int grons la vitesse sur toute la section transversale du canal, nous obtenons le volumique flux ($J_V$), d fini comme l'int grale de $\pi r v(r)$ par rapport ERROR:10120,0 de $0$ ERROR:5417,0. Cette int grale peut tre simplifi e comme suit :
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
L'int gration donne la loi de Hagen-Poiseuille r sultante :
S'il existe a différence de pression ($\Delta p$) entre deux points, comme le d termine l' quation :
nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau ($p$), qui est d finie comme suit :
Cela donne :
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Comme a différence de hauteur ($\Delta h$) est d finie comme suit :
a différence de pression ($\Delta p$) peut tre exprim e comme suit :
Le flux est d fini comme le volume le élément de volume ($\Delta V$) divis par le temps le temps écoulé ($\Delta t$), ce qui est exprim dans l' quation suivante :
et le volume est gal la section transversale a section de tube ($S$) multipli e par la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) :
tant donn que la distance parcourue le élément tubulaire ($\Delta s$) par unit de temps le temps écoulé ($\Delta t$) correspond la vitesse, elle est repr sent e par :
Ainsi, le flux est une densité de flux ($j_s$), qui est calcul l'aide de :
Si le d bit travers le tube est d crit par l' quation :
et que la diff rence de pression $\Delta p$ est proportionnelle la hauteur de la colonne $\Delta h = h :
nous pouvons appliquer la conservation du d bit $J_{V1}=J_V$ entre le tube et la colonne $J_{V2}$ :
o le d bit dans la colonne $J_{V2}$ avec une section transversale $S$ est donn par :
Ici, la densit de flux $j_s$ correspond la vitesse moyenne, qui est gale au taux de changement de la hauteur au fil du temps :
$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$
De cette mani re, nous obtenons l' quation pour la hauteur de la colonne en fonction du temps :
Si dans l' quation
les constantes sont remplac es par
nous obtenons l' quation diff rentielle lin aire du premier ordre
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$
dont la solution est
Exemples
Si lon a une hauteur de la colonne ($h$) de liquide avec a densité du liquide ($\rho_w$) sous leffet de la gravit , en utilisant a accélération gravitationnelle ($g$), on g n re ERROR:6673 selon :
Cette ERROR:6673 produit un d bit travers le tube de sortie avec le longueur du tube ($\Delta L$), le rayon du tube ($R$) et a viscosité ($\eta$) de un volumique flux 1 ($J_{V1}$) conform ment la loi de Hagen-Poiseuille :
tant donn que cette quation inclut a section au point 2 ($S_2$), a densité de flux 2 ($j_{s2}$) peut tre calcul via :
Avec cela, on obtient :
ce qui correspond une vitesse moyenne.
Pour mod liser le syst me, les param tres cl s sont :
• Diam tre int rieur du r cipient : 93 mm
• Diam tre int rieur du canal d vacuation : 3,2 mm
• Longueur du canal d vacuation : 18 mm
La hauteur initiale du liquide est de 25 cm.
Le volumique flux ($J_V$) peut tre calcul avec la loi de Hagen-Poiseuille qui avec les param tres a viscosité ($\eta$), a différence de pression ($\Delta p$), le rayon du tube ($R$) et le longueur du tube ($\Delta L$) estxa0:
La diff rence de hauteur, repr sent e par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est diff rente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :
L'une des lois les plus fondamentales en physique est la conservation de la masse, qui est valable dans tout notre monde macroscopique. Seul le monde microscopique conna t une conversion entre masse et nergie, que nous ne consid rerons pas dans ce cas. Dans le cas d'un fluide, cela signifie que la masse entrant par un tuyau doit tre gale celle qui en sort.
Si la densit est constante, cela s'applique galement au volume. Dans de tels cas, lorsque nous traitons l' coulement comme un fluide incompressible, cela signifie qu'un volume donn entrant par une extr mit du tuyau doit sortir par l'autre extr mit . Cela peut tre exprim par l' galit entre le flux en position 1 ($J_1$) et le flux en position 2 ($J_2$), avec l' quation :
Une densité de flux ($j_s$) peut tre exprim en termes de le volumique flux ($J_V$) l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :
L' coulement laminaire d'un fluide de viscosit $\eta$ travers un tube de rayon $R$ est d crit par la loi de Hagen-Poiseuille :
La diff rence de pression est d termin e par la hauteur de la colonne $\Delta h$ :
qui diminue mesure que le liquide s' coule. En appliquant l' quation de continuit , nous pouvons d montrer que la hauteur diminue au fil du temps comme suit :
Le colonne horaire caractéristique avec Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$) est calcul partir de a accélération gravitationnelle ($g$), a densité du liquide ($\rho_w$), le longueur du tube ($\Delta L$), le rayon du tube ($R$), a section au point 2 ($S_2$) et a viscosité ($\eta$) l'aide de :
A hauteur de la colonne ($h$), en fonction de le temps ($t$), pr sente un comportement exponentiel avec a hauteur initiale de la colonne de liquide ($h_0$) et le colonne horaire caractéristique avec Hagen Pouseuille ($\tau_{hp}$) :
ID:(1969, 0)