Benützer:
Experiment zum entleeren von Säulen
Definition 
Dies bedeutet, dass sich mit dem Abnehmen der Säule und der Verringerung der Höhe $h$ auch die Geschwindigkeit $v$ proportional verringert.
Die Schlüsselparameter sind:
• Innen-Durchmesser des Gefäßes: 93 mm
• Innen-Durchmesser des Evakuierungskanals: 3 mm
• Länge des Evakuierungskanals: 18 mm
Diese Parameter sind wichtig, um den Prozess des Säulenentleerens zu verstehen und zu analysieren, sowie wie sich die Austrittsgeschwindigkeit mit der Höhe ändert.
ID:(9870, 0)
Entleerung der viskosen Flüssigkeitssäule
Beschreibung
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
(ID 939)
Wenn wir das Profil von ERROR:5449,0 f r ein Fluid in einem zylindrischen Kanal betrachten, in dem die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) in Abh ngigkeit von ERROR:10120,0 gem folgendem Ausdruck variiert:
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
unter Verwendung von der Rohrradius ($R$) und die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$). K nnen wir die Maximale Durchflussrate ($v_{max}$) mithilfe von die Viskosität ($\eta$), die Druckunterschied ($\Delta p$) und der Rohrlänge ($\Delta L$) wie folgt berechnen:
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Wenn wir die Geschwindigkeit ber den Querschnitt des Kanals integrieren, erhalten wir der Volumenstrom ($J_V$), definiert als das Integral von $\pi r v(r)$ bez glich ERROR:10120,0 von $0$ bis ERROR:5417,0. Dieses Integral kann wie folgt vereinfacht werden:
$J_V=-\displaystyle\int_0^Rdr \pi r v(r)=-\displaystyle\frac{R^2}{4\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L}\displaystyle\int_0^Rdr \pi r \left(1-\displaystyle\frac{r^2}{R^2}\right)$
Die Integration f hrt zur resultierenden Hagen-Poiseuille-Gesetz:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
(ID 3178)
Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:
| $ dp = p - p_0 $ |
k nnen wir die Druck der Wassersäule ($p$) verwenden, definiert als:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Dies ergibt:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedr ckt werden:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
(ID 4345)
Der Fluss wird als das Volumen der Volumenelement ($\Delta V$) geteilt durch die Zeit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert, was durch die folgende Gleichung ausgedr ckt wird:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
und das Volumen ist das Produkt der Querschnittsfl che die Rohr Sektion ($S$) mit dem zur ckgelegten Weg der Rohrelement ($\Delta s$):
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
Da der zur ckgelegte Weg der Rohrelement ($\Delta s$) pro Zeiteinheit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) der Geschwindigkeit entspricht, wird dies durch die folgende Gleichung dargestellt:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Somit ist der Fluss eine Flussdichte ($j_s$), der mit der folgenden Gleichung berechnet wird:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
(ID 4349)
Wenn der Durchfluss durch das Rohr durch die Gleichung beschrieben wird:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
und der Druckunterschied $\Delta p$ proportional zur H he der S ule $\Delta h = h$ ist:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
k nnen wir das Erhaltungsgesetz des Flusses $J_{V1}=J_V$ zwischen dem Rohr und der S ule $J_{V2}$ anwenden:
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
,
wobei der Fluss in der S ule $J_{V2}$ mit Querschnittsfl che $S$ gegeben ist durch:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Hier entspricht die Flussdichte $j_s$ der Durchschnittsgeschwindigkeit, die der nderungsrate der H he im Laufe der Zeit entspricht:
$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$
Auf diese Weise erhalten wir die Gleichung f r die H he der S ule als Funktion der Zeit:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
(ID 14520)
Wenn in der Gleichung
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
die Konstanten durch
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
ersetzt werden, erhalten wir die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$
deren L sung lautet
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
(ID 14522)
Beispiele
Wenn man eine Höhe der Säule ($h$) Fl ssigkeit mit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) unter dem Einfluss der Schwerkraft hat, wird mit die Gravitationsbeschleunigung ($g$) eine die Variación de la Presión ($\Delta p$) gem folgender Gleichung erzeugt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Diese die Variación de la Presión ($\Delta p$) f hrt durch das Auslassrohr mit der Rohrlänge ($\Delta L$), der Rohrradius ($R$) und die Viskosität ($\eta$) zu einem Fluss von ein Volumenstrom 1 ($J_{V1}$) gem dem Hagen-Poiseuille-Gesetz:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Da diese Gleichung die Abschnitt in Punkt 2 ($S_2$) enth lt, kann die Flussdichte 2 ($j_{s2}$) berechnet werden mittels:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Damit erh lt man:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
was einer mittleren Geschwindigkeit entspricht.
Um das System zu modellieren, sind die Schl sseldaten:
• Innendurchmesser des Beh lters: 93 mm
• Innendurchmesser des Abflusskanals: 3,2 mm
• L nge des Abflusskanals: 18 mm
Die anf ngliche Fl ssigkeitsh he betr gt 25 cm.
(ID 9870)
ID:(1969, 0)