(ID 15486)

Si nous envisageons l' coulement comme une s rie de volumes avec des c t s $\Delta x$, $\Delta y$ et $\Delta z$ se d pla ant dans le courant, nous pouvons supposer que l' nergie qu'ils contiennent reste constante. Cela signifie que si nous calculons la densit d\' nergie en n\'importe quel point, elle sera toujours la m me.

(ID 11097)

Si le milieu a une densit de $\rho$, la masse du volume $\Delta x\Delta y\Delta z$ peut tre calcul e comme suit :

$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$

partir de l , nous pouvons estimer l' nergie cin tique de l' l ment en utilisant la vitesse $v$:

$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$

Cela peut tre visualis dans l'image suivante :

Par cons quent, la densit de l' nergie cin tique est

$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

(ID 11101)

Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l' l ment et si nous orientons le syst me de coordonn es de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectue un travail donn par :

$F\Delta x$

Si la force est g n r e par une pression, alors elle agit sur la surface perpendiculaire la direction de la force, c'est- -dire $ \Delta y \Delta z$. Ainsi, l' nergie est donn e par :

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Cela peut tre visualis dans l'image suivante :

Par cons quent, la densit de l' nergie potentielle gravitationnelle est

$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$

(ID 11102)

Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l' l ment et si nous orientons le syst me de coordonn es de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectuera un travail donn par :

$F\Delta x$

Si la force est g n r e par une pression, alors elle agira sur la surface perpendiculaire la direction de la force, c'est- -dire $\Delta y \Delta z$. Ainsi, l' nergie sera :

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Cela peut tre visualis dans l'image suivante :

Par cons quent, la densit de l' nergie g n rale est

$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$

(ID 11103)

L'hypoth se de Bernoulli postule que l' nergie est conserv e localement, c'est- -dire qu'il n'y a pas de m canismes permettant un volume du milieu d' changer de l' nergie avec son environnement. Si nous consid rons l' quation de l' nergie $E$, qui inclut :

• L' nergie cin tique en fonction de la masse $m$ et a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$),
• L' nergie potentielle gravitationnelle en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$) et a hauteur de la colonne ($h$),
• Une force externe $F$ qui d place le liquide sur une distance $\Delta z$,
nous pouvons l'exprimer ainsi :

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

En consid rant l' nergie dans un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, nous pouvons remplacer la masse par a densité ($\rho$) :

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Et comme a pression de la colonne d'eau ($p$) est exprim par :

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Nous obtenons l' quation de a densité d'énergie ($e$) :

En l'absence de viscosit , la conservation de l' nergie implique que a densité d'énergie ($e$) reste constante en tout point du fluide. Par cons quent, conna tre la vitesse et/ou la pression en un lieu donn du fluide suffit pour tablir une relation entre la vitesse et la pression en tout point du fluide.

(ID 15708)

L'hypoth se de la loi de Bernoulli est que l' nergie, et donc a densité d'énergie ($e$), reste constante. Dans ce cas, la densit d' nergie est la somme de :

• L' nergie cin tique, qui d pend de a densité du liquide ($\rho_w$) et a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$),
• L' nergie potentielle gravitationnelle, qui d pend de a accélération gravitationnelle ($g$) et a hauteur de la colonne ($h$),
• L' nergie potentielle g n rale, qui d pend de a pression ($p$),
ce qui donne :

Cependant, cela limite l'applicabilit de la loi car :

• La viscosit est un processus dans lequel l' nergie se diffuse travers le milieu et, dans ce sens, l' nergie n'est pas conserv e localement car elle est redistribu e dans le milieu.

• Les tourbillons ne peuvent pas exister car ils ont inh remment des zones de densit s nerg tiques diff rentes, ce qui contredit l'hypoth se. Cela signifie qu'elle ne d crirait pas un coulement turbulent.

Le probl me est que dans la plupart des cas, l' coulement peut tre domin par la viscosit , appel coulement laminaire, ou par l'inertie, observ comme un coulement turbulent. Ainsi, la loi de Bernoulli est un mod le applicable uniquement dans des situations o l'inhomog n it de la densit d' nergie est moindre.

(ID 15500)

Si nous supposons que a densité d'énergie ($e$) est conserv , alors pour une cellule o la vitesse moyenne est a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), la densit est a densité ($\rho$), la pression est a pression de la colonne d'eau ($p$), la hauteur est a hauteur de la colonne ($h$), et l'acc l ration gravitationnelle est a accélération gravitationnelle ($g$), nous avons ce qui suit :

En un point 1, cette quation sera gale la m me quation en un point 2 :

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

o a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$), a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) repr sentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 1, respectivement, et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) repr sentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 2, respectivement.

On a donc l quation de Bernoulli [1] :

[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)

Il est important de garder l'esprit les hypoth ses suivantes :

L' nergie est conserv e, en supposant notamment l\'absence de viscosit .

Il n\'y a pas de d formation du milieu, donc la densit reste constante.

Il n\'y a pas de vorticit , c\'est- -dire de tourbillons qui entra nent une circulation dans le milieu. Le fluide doit pr senter un comportement laminaire.

(ID 15707)

Dans les distributeurs de parfum, un courant d'air est g n r autour d'un tube immerg dans le parfum. Cela entra ne une baisse de pression, ce qui fait que la pression dans la colonne de parfum est inf rieure celle g n r e par le liquide l'int rieur du flacon, ce qui propulse le liquide travers la colonne. Finalement, le liquide qui atteint la partie sup rieure est pulv ris et transport par le jet d\'air.

Pour mod liser le syst me, on peut utiliser la loi de Bernoulli avec la densit du liquide a densité du liquide ($\rho_w$) et la hauteur a accélération gravitationnelle ($g$). Si le point 1 est la base du tube de transport du liquide, alors a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) est nul, a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) est la profondeur du liquide ($h$), et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) est la pression atmosph rique. Si le point 2 est la sortie sup rieure du tube de transport du liquide, alors a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) est la vitesse laquelle le liquide merge ($v$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) est nul, et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) est la pression atmosph rique. Par cons quent, l'expression

se r duit

$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $

car la pression atmosph rique est simplifi e. Ainsi, la vitesse laquelle le liquide merge est :

$v = \sqrt{ 2 g h }$

(ID 11096)

(ID 15489)