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Adiabatische Prozesse
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In Prozessen, die schnell ablaufen, gibt es nicht genug Zeit, damit sich die innere Energie signifikant ändern kann. In diesem Fall reduziert jede verrichtete Arbeit die Wärme des Systems, was zu Modifikationen der idealen Gasgleichungen führt.
ID:(785, 0)
Adiabatische Prozesse
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Ein adiabatischer Prozess ist ein thermodynamischer Prozess, bei dem kein Wärmeaustausch zwischen dem System und seiner Umgebung stattfindet. Das bedeutet, dass alle Änderungen der inneren Energie des Systems ausschließlich durch die Arbeit verursacht werden, die am System verrichtet wird oder die das System leistet. Bei einer adiabatischen Expansion verrichtet das System Arbeit an seiner Umgebung, was zu einer Abkühlung führt. Umgekehrt erhöht sich bei einer adiabatischen Kompression die Temperatur des Systems, da Arbeit am System verrichtet wird. Diese Prozesse treten oft in gut isolierten Systemen auf, in denen die Wärmeübertragung vernachlässigbar ist.
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Gleichungen
Die Druck ($p$), der Volumen ($V$), die Absolute Temperatur ($T$) und der Anzahl der Mol ($n$) stehen im Zusammenhang mit den folgenden physikalischen Gesetzen:
• Das Gesetz von Boyle
• Das Gesetz von Charles
• Das Gesetz von Gay-Lussac
• Das Gesetz von Avogadro
Diese Gesetze k nnen in einer allgemeineren Form ausgedr ckt werden:
$\displaystyle\frac{pV}{nT}=cte$
Diese allgemeine Beziehung besagt, dass das Produkt aus Druck und Volumen durch die Anzahl der Mol und die Temperatur geteilt konstant bleibt:
Die Druck ($p$), der Volumen ($V$), die Absolute Temperatur ($T$) und der Anzahl der Mol ($n$) stehen im Zusammenhang mit den folgenden physikalischen Gesetzen:
• Das Gesetz von Boyle
• Das Gesetz von Charles
• Das Gesetz von Gay-Lussac
• Das Gesetz von Avogadro
Diese Gesetze k nnen in einer allgemeineren Form ausgedr ckt werden:
$\displaystyle\frac{pV}{nT}=cte$
Diese allgemeine Beziehung besagt, dass das Produkt aus Druck und Volumen durch die Anzahl der Mol und die Temperatur geteilt konstant bleibt:
Im adiabatischen Fall, f r ERROR:5177,0 und der Volumen ($V$) mit die Universelle Gas Konstante ($R_C$), die Molmasse ($M_m$), der Spezifische Wärme bei konstantem Druck ($c_p$), die Temperaturschwankungen ($dT$) und die Volumenvariation ($\Delta V$), ergibt sich die folgende Gleichung:
Durch Einf hrung von der Adiabatischer Index ($\kappa$) kann diese Gleichung wie folgt ausgedr ckt werden:
Dies erm glicht es uns, die Gleichung wie folgt zu schreiben:
$\displaystyle\frac{dT}{T}=-(\kappa - 1)\displaystyle\frac{dV}{V}$
Wenn wir diesen Ausdruck zwischen der Volumen im Zustand i ($V_i$) und der Volumen im Zustand f ($V_f$) sowie zwischen die Temperatur im Ausgangszustand ($T_i$) und die Temperatur im Endzustand ($T_f$) integrieren, erhalten wir:
Die Änderung der inneren Energie ($dU$) in Bezug auf die Temperaturschwankungen ($\Delta T$) und die Wärmekapazität bei konstantem Volumen ($C_V$) wird wie folgt ausgedr ckt:
Wobei die Wärmekapazität bei konstantem Volumen ($C_V$) durch der Spezifische Wärme von Gasen bei konstantem Volumen ($c_V$) und die Masse ($M$) gem folgender Beziehung ersetzt werden kann:
Daher erhalten wir:
Beispiele
Ein adiabatischer Prozess in einem Gas tritt auf, wenn der Vorgang so schnell abl uft, dass keine Zeit bleibt, um W rme mit der Umgebung auszutauschen. Ein klassisches Beispiel ist der Aufstieg einer Luftmasse in der Atmosph re: Beim Aufsteigen in Regionen mit niedrigerem Druck expandiert das Gas, ohne mit der Umgebung W rme auszutauschen. Diese Expansion erfordert mechanische Arbeit, die auf Kosten der inneren Energie des Gases erfolgt, wodurch sich dessen Temperatur verringert. Diese Temperatur unterscheidet sich in der Regel von der Umgebungstemperatur.
Die resultierende Temperatur kann mit den Gleichungen f r adiabatische Prozesse berechnet werden. Sobald dieser schnelle bergang erfolgt ist, beginnt bei Temperaturdifferenz ein W rmeaustausch: das Gas nimmt W rme auf, wenn es k lter ist als die Umgebung, oder gibt W rme ab, wenn es w rmer ist. In dieser Phase gelten die adiabatischen Gleichungen nicht mehr, und das System entwickelt sich in Richtung thermisches Gleichgewicht.
Mit dem folgenden Simulator k nnen Sie dieses Verhalten untersuchen. Legen Sie den Anfangsdruck und die Anfangstemperatur sowie die Druck- und Temperaturbedingungen der Umgebung fest. Der Simulator zeigt zun chst die adiabatische nderung ($\delta Q=0$) und danach die thermische Anpassung mit Angabe des aufgenommenen (positiv) oder abgegebenen (negativ) W rmestroms:
Sie k nnen auch mit anderen Gasen experimentieren, indem Sie $\kappa$ (Verh ltnis der W rmekapazit ten), die molare W rmekapazit t (Standard: 20,79 J/mol K) und die W rmeleitf higkeit (Standard: 1 J/K) anpassen.
Beachten Sie, dass die ideale Gasgleichung (Beziehung zwischen Druck $p$, Volumen $V$ und Temperatur $T$) immer erf llt ist. Ein pl tzlicher Druckwechsel ver ndert nur eine Variable, daher ist eine zus tzliche Beziehung erforderlich. Im adiabatischen Fall liefert dies der erste Hauptsatz der Thermodynamik, der sich zu einer Beziehung zwischen $V$ und $T$ vereinfacht. Sobald ein W rmeaustausch einsetzt, gilt die adiabatische Beziehung nicht mehr, die ideale Gasgleichung jedoch weiterhin. Die adiabatischen Gleichungen widersprechen den allgemeinen Gasgesetzen nicht, sondern erg nzen sie f r spezielle bergangszust nde.
Wenn sich ein Gas schnell ausdehnt, haben die Wasserdampfmolek le nicht gen gend Zeit, Energie mit der Umgebung auszutauschen, sodass keine W rme bertragen wird, d. h. Die Variation des Wärme ($\delta Q$) bleibt konstant:
$\delta Q = 0$
Die Prozesse, die unter dieser Bedingung ablaufen, werden adiabatische Prozesse genannt [1,2].
Die Expansion des Gases erfordert, dass das System Arbeit verrichtet oder der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$) erzeugt. Die f r dies ben tigte Energie kann jedoch nicht von die Innere Energie ($U$) stammen und muss daher aus W rme gewonnen werden. Dies f hrt zu einer Abnahme der Temperatur des Systems und damit zu einer Abnahme von die Variation des Wärme ($\delta Q$).
Ein typisches Beispiel f r diesen Prozess ist die Bildung von Wolken. Wenn Luft durch Konvektion aufsteigt, dehnt sie sich aus, verrichtet Arbeit und k hlt ab. Die Feuchtigkeit in der Luft kondensiert und bildet Wolken.
Umgekehrt, wenn Arbeit am System verrichtet wird, wird positive Arbeit der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$) geleistet. Da jedoch die Innere Energie ($U$) nicht zunehmen kann, steigt die thermische Energie in die Variation des Wärme ($\delta Q$) an, was zu einer Erh hung der Temperatur des Systems f hrt.
Ein h ufiges Beispiel f r diesen Prozess ist die Verwendung einer Pumpe. Wenn wir versuchen, etwas schnell aufzublasen, verrichten wir adiabatisch Arbeit am System, was zu einer Erh hung von die Variation des Wärme ($\delta Q$) und folglich zu einer Erw rmung f hrt.
[1] "R flexions sur la puissance motrice du feu" (Reflexionen ber die bewegende Kraft des Feuers), Sadi Carnot, 1824
[2] " ber die bewegende Kraft der W rme und die Gesetze, welche sich daraus f r die W rmelehre selbst ableiten lassen", Rudolf Clausius, Annalen der Physik und Chemie, 1850
Die Änderung der inneren Energie ($dU$) in Bezug auf die Temperaturschwankungen ($\Delta T$) und die Wärmekapazität bei konstantem Volumen ($C_V$) wird wie folgt ausgedr ckt:
Wobei die Wärmekapazität bei konstantem Volumen ($C_V$) durch der Spezifische Wärme von Gasen bei konstantem Volumen ($c_V$) und die Masse ($M$) gem folgender Beziehung ersetzt werden kann:
Daher erhalten wir:
Da mit die Änderung der inneren Energie ($dU$), die Variation des Wärme ($\delta Q$) und der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$) gilt:
$dU = \delta Q - \delta W = 0 - \delta W = - \delta W$
die Änderung der inneren Energie ($dU$) kann aus der Spezifische Wärme von Gasen bei konstantem Volumen ($c_V$), die Masse ($M$) und die Temperaturschwankungen ($\Delta T$) bei konstantem Volumen berechnet werden:
Ebenso k nnen wir der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$) durch die Druck ($p$) und die Volumenvariation ($\Delta V$) ersetzen:
Wenn wir beide Ausdr cke gleichsetzen, erhalten wir die Gleichung:
$c_VMdT=-pdV$
Was, mit der Einbeziehung von der Volumen ($V$), die Universelle Gas Konstante ($R_C$) und ERROR:6679, zu folgendem f hrt:
Und mit die Masse ($M$) und die Molmasse ($M_m$):
Schlie lich, im Grenzwert $\Delta T \rightarrow dt$, erhalten wir die Beziehung:
Im adiabatischen Fall, f r die Absolute Temperatur ($T$) und der Volumen ($V$) mit die Universelle Gas Konstante ($R_C$), die Molmasse ($M_m$), der Spezifische Wärme von Gasen bei konstantem Volumen ($c_V$), die Temperaturschwankungen ($dT$) und die Volumenvariation ($\Delta V$), ergibt sich die folgende Gleichung:
Durch Einf hrung von der Adiabatischer Index ($\kappa$) kann diese Gleichung wie folgt ausgedr ckt werden:
Dies erm glicht es uns, die Gleichung wie folgt zu schreiben:
$\displaystyle\frac{dT}{T}=-(\kappa - 1)\displaystyle\frac{dV}{V}$
Wenn wir diesen Ausdruck zwischen der Volumen im Zustand i ($V_i$) und der Volumen im Zustand f ($V_f$) sowie zwischen die Temperatur im Ausgangszustand ($T_i$) und die Temperatur im Endzustand ($T_f$) integrieren, erhalten wir:
In einem adiabatischen Fall hat das System keine M glichkeit, der Kaloriengehalt ($Q$) zu ver ndern, das bedeutet, dass der Differential ungenau Wärme ($\delta Q$) null sein muss:
Der Interne Energiedifferenz ($dU$) ist immer gleich der Menge von der Differential ungenau Wärme ($\delta Q$), die dem System zugef hrt wird (positiv), abz glich der Menge von der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$), die vom System durchgef hrt wird (negativ):
Die Beziehung zwischen der Variation von die Änderung der inneren Energie ($dU$) und die Temperaturschwankungen ($\Delta T$) ist mit der Spezifische Wärme von Gasen bei konstantem Volumen ($c_V$) und die Masse ($M$) gleich:
Wenn ein System zu Beginn bei eine Temperatur im Ausgangszustand ($T_i$) ist und dann bei die Temperatur im Endzustand ($T_f$) ist, wird die Differenz sein:
Der Temperaturunterschied ist unabh ngig davon, ob diese Werte in Grad Celsius oder Kelvin angegeben sind.
Die Partikelmasse ($m$) kann aus die Molmasse ($M_m$) und der Avogadros Nummer ($N_A$) gesch tzt werden mithilfe von
Mit die Universelle Gas Konstante ($R_C$), die Molmasse ($M_m$), der Spezifische Wärme von Gasen bei konstantem Volumen ($c_V$), die Temperaturschwankungen ($dT$) und die Volumenvariation ($\Delta V$) kann der Adiabatischer Index ($\kappa$) wie folgt definiert werden:
Im Fall eines adiabatischen Prozesses kann der Arbeit in einem adiabatischen Prozess ($\Delta W$) aus den Werten von die Druck im Ausgangszustand ($p_i$), der Volumen im Zustand i ($V_i$), die Druck im Endzustand ($p_f$), der Volumen im Zustand f ($V_f$) und der Adiabatischer Index ($\kappa$) gem folgender Gleichung berechnet werden:
Die Druck ($p$), der Volumen ($V$), die Absolute Temperatur ($T$) und der Anzahl der Mol ($n$) sind durch die folgende Gleichung verbunden:
wobei die Universelle Gas Konstante ($R_C$) einen Wert von 8,314 J/K mol hat.
Die Druck ($p$), der Volumen ($V$), die Absolute Temperatur ($T$) und der Anzahl der Mol ($n$) sind durch die folgende Gleichung verbunden:
wobei die Universelle Gas Konstante ($R_C$) einen Wert von 8,314 J/K mol hat.
Die Druck im Ausgangszustand ($p_i$), der Volumen im Zustand i ($V_i$), die Temperatur im Ausgangszustand ($T_i$), die Druck im Endzustand ($p_f$), der Volumen im Zustand f ($V_f$) und die Temperatur im Endzustand ($T_f$) stehen in folgender Gleichung miteinander in Beziehung:
Von einem Anfangszustand (i) mit der Volumen im Zustand i ($V_i$) und die Temperatur im Ausgangszustand ($T_i$) geht es in einen Endzustand (f) mit der Volumen im Zustand f ($V_f$) und die Temperatur im Endzustand ($T_f$) gem :
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