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Mit konstanter Winkelgeschwindigkeit abfangen
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Objekte können sich schneiden, wenn sie im gleichen Moment im Winkel übereinstimmen. Um dies zu erreichen, müssen sie sich von ihren jeweiligen Anfangswinkeln mit Winkelgeschwindigkeiten bewegen, die es ihnen ermöglichen, sich am Ende der Reise im Winkel und zur gleichen Zeit zu treffen.
ID:(1450, 0)
Mechanismen
Iframe
Mechanismen
ID:(15411, 0)
Konzept des Abfangens
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Im Falle einer Kreuzung bewegen sich zwei Körper so, dass sie sich zur Zeit ein Kreuzungszeit ($t$) an Kreuzungswinkel ($\theta$) treffen werden.
Um dies zu erreichen, beginnt jeder Körper:
• Seine Verschiebung bei der Anfangszeit des ersten Objekts ($t_1$) bei der Anfangswinkel des ersten Körpers ($\theta_1$) mit eine Winkelgeschwindigkeit des Körpers 1 ($\omega_1$).
• Seine Verschiebung bei der Anfangszeit des zweiten Objekts ($t_2$) bei der Anfangswinkel des zweiten Körpers ($\theta_2$) mit eine Winkelgeschwindigkeit des Körpers 2 ($\omega_2$).
Diese Bedingungen müssen erfüllt sein, um die Kreuzung zu erreichen.
Die Winkel-Zeit-Diagramme können dann wie folgt überlagert werden:
ID:(15517, 0)
Winkel und Reisedauer
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Im Falle einer Kreuzung oder Kollision zwischen zwei Objekten ist es üblich, dass die Winkelgeschwindigkeit des Körpers 1 ($\omega_1$) und die Winkelgeschwindigkeit des Körpers 2 ($\omega_2$) so konfiguriert sind, dass sie zusammenfallen.
Das bedeutet, dass der Vom ersten Körper zurückgelegter Winkel ($\Delta\theta_1$) und die Reisezeit des ersten Objekts ($\Delta t_1$) zu eine Winkelgeschwindigkeit des Körpers 1 ($\omega_1$) führen müssen,
| $ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$ |
so dass mit der Vom zweiten Körper zurückgelegter Winkel ($\Delta\theta_2$) und die Reisezeit des zweiten Objekts ($\Delta t_2$) Eine Winkelgeschwindigkeit des Körpers 2 ($\omega_2$) erreicht wird,
| $ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$ |
damit sie schließlich in Zeit und Raum (Position) übereinstimmen:
ID:(15516, 0)
Winkel und Zeitpunkt beim Abfangen
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Im Fall einer Bewegung, bei der sich zwei Objekte schneiden, wie zum Beispiel die Kreuzungswinkel ($\theta$) und der Kreuzungszeit ($t$), ist dies für beide üblich. Daher, wenn für das erste Objekt der Anfangszeit des ersten Objekts ($t_1$) und der Anfangswinkel des ersten Körpers ($\theta_1$) mit die Winkelgeschwindigkeit des Körpers 1 ($\omega_1$) erfüllt sind:
| $ \theta = \theta_1 + \omega_1 ( t - t_1 )$ |
und für das zweite Objekt der Anfangszeit des zweiten Objekts ($t_2$) und der Anfangswinkel des zweiten Körpers ($\theta_2$) mit die Winkelgeschwindigkeit des Körpers 2 ($\omega_2$) erfüllt sind:
| $ \theta = \theta_2 + \omega_2 ( t - t_2 )$ |
was wie folgt dargestellt wird:
ID:(15518, 0)
Modell
Top
Berechnungen
Variablen
Parameter
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden Gleichung
$ \Delta t_1 \equiv t - t_1 $
Dt = t - t_0
$ \Delta t_2 \equiv t - t_2 $
Dt = t - t_0
$ \Delta\theta_1 = \theta - \theta_1 $
Dtheta = theta - theta_0
$ \Delta\theta_2 = \theta - \theta_2 $
Dtheta = theta - theta_0
$ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$
omega_m = Dtheta / Dt
$ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$
omega_m = Dtheta / Dt
$ \theta = \theta_1 + \omega_0 ( t - t_1 )$
theta = theta_0 + omega_0 * ( t - t_0 )
$ \theta = \theta_2 + \omega_0 ( t - t_2 )$
theta = theta_0 + omega_0 * ( t - t_0 )
$ v_1 = r \omega_1 $
v = r * omega
$ v_2 = r \omega_2 $
v = r * omega
ID:(15422, 0)
Winkel Differenz (1)
Gleichung
Um die Rotation eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die Winkelvariation ($\Delta\theta$) bestimmen. Dies geschieht, indem wir der Anfangswinkel ($\theta_0$) von der Winkel ($\theta$) subtrahieren, den Wert, den das Objekt während seiner Rotation erreicht:
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_1 $ |
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
ID:(3680, 1)
Winkel Differenz (2)
Gleichung
Um die Rotation eines Objekts zu beschreiben, müssen wir die Winkelvariation ($\Delta\theta$) bestimmen. Dies geschieht, indem wir der Anfangswinkel ($\theta_0$) von der Winkel ($\theta$) subtrahieren, den Wert, den das Objekt während seiner Rotation erreicht:
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_2 $ |
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
ID:(3680, 2)
Verstrichenen Zeit (1)
Gleichung
Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, müssen wir der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnen. Diese Größe wird durch Messung von der Startzeit ($t_0$) und der der Zeit ($t$) dieser Bewegung erhalten. Die Dauer wird bestimmt, indem die Anfangszeit von der Endzeit subtrahiert wird:
| $ \Delta t_1 \equiv t - t_1 $ |
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 1)
Verstrichenen Zeit (2)
Gleichung
Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, müssen wir der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnen. Diese Größe wird durch Messung von der Startzeit ($t_0$) und der der Zeit ($t$) dieser Bewegung erhalten. Die Dauer wird bestimmt, indem die Anfangszeit von der Endzeit subtrahiert wird:
| $ \Delta t_2 \equiv t - t_2 $ |
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 2)
Winkel für konstante Winkelgeschwindigkeit (1)
Gleichung
Im Fall, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, fällt die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) mit dem Wert von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_i$) zusammen, daher
| $ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
In diesem Fall können wir den Winkel als Funktion der Zeit berechnen, indem wir uns daran erinnern, dass er sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen und dem Anfangswinkel sowie der aktuellen und der Anfangszeit ergibt. Daher ist der Winkel ($\theta$) gleich der Anfangswinkel ($\theta_0$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_i$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$), wie unten gezeigt:
| $ \theta = \theta_1 + \omega_1 ( t - t_1 )$ |
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
Im Fall, dass die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_i$) gleich die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist,
| $ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
Deshalb erhalten wir mit die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$), welches gleich der Winkel ($\theta$) geteilt durch der Anfangswinkel ($\theta_0$) ist:
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
Und mit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$), welches gleich der Zeit ($t$) geteilt durch der Startzeit ($t_0$) ist:
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Wir können die Gleichung für die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) umschreiben als:
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Dies kann ausgedrückt werden als:
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
Bei der Lösung erhalten wir:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
Die Gleichung stellt eine Gerade im Winkel-Zeit-Raum dar.
ID:(1023, 1)
Winkel für konstante Winkelgeschwindigkeit (2)
Gleichung
Im Fall, dass die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, fällt die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) mit dem Wert von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_i$) zusammen, daher
| $ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
In diesem Fall können wir den Winkel als Funktion der Zeit berechnen, indem wir uns daran erinnern, dass er sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen und dem Anfangswinkel sowie der aktuellen und der Anfangszeit ergibt. Daher ist der Winkel ($\theta$) gleich der Anfangswinkel ($\theta_0$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_i$), der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$), wie unten gezeigt:
| $ \theta = \theta_2 + \omega_2 ( t - t_2 )$ |
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
Im Fall, dass die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_i$) gleich die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist,
| $ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
Deshalb erhalten wir mit die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$), welches gleich der Winkel ($\theta$) geteilt durch der Anfangswinkel ($\theta_0$) ist:
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
Und mit der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$), welches gleich der Zeit ($t$) geteilt durch der Startzeit ($t_0$) ist:
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Wir können die Gleichung für die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) umschreiben als:
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Dies kann ausgedrückt werden als:
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
Bei der Lösung erhalten wir:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
Die Gleichung stellt eine Gerade im Winkel-Zeit-Raum dar.
ID:(1023, 2)
Mittlere Winkelgeschwindigkeit (1)
Gleichung
Um die Verschiebung eines Objekts zu schätzen, ist es notwendig, seine die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) in Abhängigkeit von der Zeit ($t$) zu kennen. Daher wird die die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) eingeführt, die als das Verhältnis zwischen die Winkelvariation ($\Delta\theta$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert ist.
Um dies zu messen, kann ein System wie das im Bild gezeigt verwendet werden:
Um die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen, wird ein reflektierendes Element auf der Achse oder auf einer Scheibe mit mehreren reflektierenden Elementen platziert, und der Durchgang wird erfasst, um die Länge des Bogens $\Delta s$ und den Winkel, der mit dem Radius $r$ verbunden ist, zu schätzen. Dann wird der Zeitunterschied aufgezeichnet, wenn die Markierung vor dem Sensor vorbeigeht, als $\Delta t$. Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit wird durch die Division des zurückgelegten Winkels durch die verstrichene Zeit bestimmt.
Die Gleichung, die die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit beschreibt, lautet:
| $ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$ |
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) wird als die Winkelvariation ($\Delta\theta$) betrachtet,
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$),
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) definiert:
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Es ist zu beachten, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit eine Schätzung der tatsächlichen Winkelgeschwindigkeit ist. Das Hauptproblem ist, dass:
Wenn sich die Winkelgeschwindigkeit während der verstrichenen Zeit ändert, kann der Wert der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sehr unterschiedlich zur durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sein.
Daher ist der Schlüssel:
Die Geschwindigkeit in einer ausreichend kurzen verstrichenen Zeit zu bestimmen, um ihre Variation zu minimieren.
ID:(3679, 1)
Mittlere Winkelgeschwindigkeit (2)
Gleichung
Um die Verschiebung eines Objekts zu schätzen, ist es notwendig, seine die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) in Abhängigkeit von der Zeit ($t$) zu kennen. Daher wird die die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) eingeführt, die als das Verhältnis zwischen die Winkelvariation ($\Delta\theta$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert ist.
Um dies zu messen, kann ein System wie das im Bild gezeigt verwendet werden:
Um die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen, wird ein reflektierendes Element auf der Achse oder auf einer Scheibe mit mehreren reflektierenden Elementen platziert, und der Durchgang wird erfasst, um die Länge des Bogens $\Delta s$ und den Winkel, der mit dem Radius $r$ verbunden ist, zu schätzen. Dann wird der Zeitunterschied aufgezeichnet, wenn die Markierung vor dem Sensor vorbeigeht, als $\Delta t$. Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit wird durch die Division des zurückgelegten Winkels durch die verstrichene Zeit bestimmt.
Die Gleichung, die die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit beschreibt, lautet:
| $ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$ |
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) wird als die Winkelvariation ($\Delta\theta$) betrachtet,
| $ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$),
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) definiert:
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Es ist zu beachten, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit eine Schätzung der tatsächlichen Winkelgeschwindigkeit ist. Das Hauptproblem ist, dass:
Wenn sich die Winkelgeschwindigkeit während der verstrichenen Zeit ändert, kann der Wert der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sehr unterschiedlich zur durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit sein.
Daher ist der Schlüssel:
Die Geschwindigkeit in einer ausreichend kurzen verstrichenen Zeit zu bestimmen, um ihre Variation zu minimieren.
ID:(3679, 2)
Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit (1)
Gleichung
Wenn wir das Verhältnis zwischen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Radius ($r$) durch die Winkelvariation ($\Delta\theta$) teilen,
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
und das dann durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, erhalten wir die Beziehung, die es uns ermöglicht, die Geschwindigkeit ($v$) entlang der Umlaufbahn zu berechnen, bekannt als die tangentielle Geschwindigkeit, die mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) verbunden ist:
| $ v_1 = r \omega_1 $ |
| $ v = r \omega $ |
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie für momentane Werte angewendet werden, was zu
| $ v = r \omega $ |
führt.
ID:(3233, 1)
Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit (2)
Gleichung
Wenn wir das Verhältnis zwischen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Radius ($r$) durch die Winkelvariation ($\Delta\theta$) teilen,
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
und das dann durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, erhalten wir die Beziehung, die es uns ermöglicht, die Geschwindigkeit ($v$) entlang der Umlaufbahn zu berechnen, bekannt als die tangentielle Geschwindigkeit, die mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) verbunden ist:
| $ v_2 = r \omega_2 $ |
| $ v = r \omega $ |
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie für momentane Werte angewendet werden, was zu
| $ v = r \omega $ |
führt.
ID:(3233, 2)