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Péndulo Físico
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En el caso de un péndulo compuesto de una masa real la energía potencial se da por el efecto de elevar el centro de masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un angulo dado.
ID:(1421, 0)
Energía potencial de un péndulo matemático para pequeños ángulos
Ecuación
La energía potencial gravitacional de un péndulo es
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que para ángulos pequeños puede aproximarse como:
 $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
La energía potencial gravitacional de un péndulo con masa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
donde
Para pequeños ángulos, la función coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo término
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energía potencial se reduce a
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es importante destacar que el ángulo debe estar expresado en radianes.
ID:(4514, 0)
Energía cinética de rotación
Ecuación
En el caso de estudio de la translación, la definición de la energía
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ T = I \alpha $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad angular de $\omega_1$ a $\omega_2$ se puede calcular utilizando la definición
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Utilizando la definición de velocidad angular
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
La diferencia en las velocidades angulares es
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Por otro lado, la velocidad angular en sí se puede aproximar con la velocidad angular promedio
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Utilizando ambas expresiones, obtenemos la ecuación
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Así, el cambio en la energía está dado por
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Esto nos permite definir la energía cinética como
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)
Frecuencia angular para un péndulo físico
Ecuación
En relación al péndulo físico:
La energía se expresa como:
$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
Consecuentemente, la frecuencia angular es:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$ |
Dado que la energía cinética del péndulo físico con momento de inercia $I$ y velocidad angular $\omega$ está representada por
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
y la energía potencial gravitacional está dada por
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
donde $m$ es la masa, $l$ es la longitud de la cuerda, $\theta$ es el ángulo y $g$ es la aceleración angular, la ecuación de energía se expresa como
$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
Dado que el período se define como
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I}{mgl}}$
podemos determinar la frecuencia angular como
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$ |
ID:(4517, 0)
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Video: Péndulo físico