Para modelar las ra ces se puede considerar la concentraci n del soluto y con ella, considerando la temperatura que es igual en todo el sistema, se puede estimar la presi n osm tica. Esta debe ser negativa ya que reduce la presi n al interior de la planta facilitando la entrada de agua a la planta.La concentraci n de los iones c que generan la presi n osm tica \Psi=-cRTcon R la constante de los gases y T la temperatura en grados Kelvin, no debe superar la presi n de la columna de agua y la capilaridad del tallo.En otras palabras, la presi n capilar generada por el radio de capilares r menos la presi n de la columna de agua \rho g h deben superar la magnitud de la presi n osm tica. O sea debe ser tal que\mid\Psi\mid < \displaystyle\frac{2\sigma}{r}-\rho g hdonde \sigma es la tensi n superficial, \rho la densidad del agua, g la aceleraci n gravitacional y h la altura de la columna.Si la concentraci n es demasiado alta se obtienen presiones osm ticas mayores que la presi n de la columna resultando en radios negativos. Esto, que no tiene sentido f sico, corresponder a a la tensi n superficial en el tallo tratando de contener la presi n osm tica.

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El soluto es por lo general rodeado de mol culas del solvente generando un tipo de macro-part cula de baja movilidad. Mas aya de impactar la pared creando presi n obstruyen el acceso de las part culas del solvente a la pared. Con ello se reduce la presi n que genera el solvente sobre la membrana. Como la densidad del soluto es baja se tiende a comportar como part culas aisladas similares a las molecular de un gas. La reducci n de la presi n ejercida por el solvento se puede describir como una presi n negativa proporcional a la concentraci n del soluto:

Dicha presi n se denomina presi n osm tica y por lo general llega en las ra ces a valores de hasta 0.6,MPa.

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Al ser las ra ces muy peque as, los radios de los capilares por los que fluye el agua son del orden de micrones. Adicionalmente el flujo es lento ya que el agua tiene que difundir a trav s de la membrana semipermeable de la pared de la ra z.Todo esto lleva a que el numero de Reynold sea peque o y con ello el flujo sea laminar.El desplazamiento de un fluido laminar es descrito mediante la ecuaci n de Bernoulli con lo que podemos estimar la velocidad de este en base a la diferencia de presi n que exista.

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Volviendo al tallo tenemos la presi n que genera la capilaridad que impulsa el l quido, pero tambi n el peso de la columna de agua, la presi n osm tica en las ra ces y la presi n del vapor de agua en las hojas que frenan el transporte. De ello notamos que existe un radio m nimo sobre el cual la planta no ser capaz de mover el l quido hasta las hojas. Este l mite corresponde a la situaci n en que la diferencia de presi n es justamente cero o sea la presi n que impulsa es igual a las que oponen para que el liquido llegue a las hojas. Como una diferencia de presi n nula no permite desplazar el l quido debemos asumir que el radio es menor. Asumamos que el radio real es 10% del radio m nimo con lo que se puede calcular la diferencia de presi n y, con la viscosidad, el flujo por cada capilar. Con dicho flujo podemos finalmente calcular el numero de capilares que debe de existir en cada tipo de planta.

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La diferencia de presi n necesaria para transportar liquido por el tallo es

donde \sigma es la tensi n superficial, r es el radio del capilar, \Psi la presi n osm tica, \rho la densidad del agua, g la aceleraci n gravitacional y \Delta h la altura del tallo.

Si se resume la presi n capilar como

la expresi n se puede simplificar por

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De Bernoulli se comparando el punto al principio del tallo (1) y en las hojas (2)

Si se asume que la velocidad a nivel de las ra ces es mucho menor que en el tallo se tiene que

v\sim v_2\gg v_1\sim 0

Por otro lado h_2 sera la altura del tallo mientras que h_1 sera cero.

Finalmente en la parte inferior la capilaridad genera una presi n que impulsa el liquido mientras que la presi n osm tica la reduce por lo que

p_1=p_e+\displaystyle\frac{2\sigma}{r}-\Psi

donde p_e la presi n de la evaporaci n, \sigma es la tensi n superficial y r el radio del capilar mientras que la presi n adicional en la altura ser cero p_2=0.

De esta forma la ecuaci n de Bernoulli queda como

\rho\displaystyle\frac{v^2}{2}=p_e+\displaystyle\frac{2\sigma}{r}-\Psi-\rho g\Delta h

o sea que el liquido es desplazado por la diferencia de presi n

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Lo que en la parte inferior de la planta, en la parte superior se comienza a bifurcar en m ltiples ramas que finalmente portan las hojas. Esto significa que los capilares en el tallo se deben bifurcar en m ltiples ramas y estos a su vez en m ltiples hojas.Los capilares en ramas y hojas pueden ser mas numerosos que en el tallo, sin embargo la secci n en cada uno de ellos debe ser tal que se asegure un debido flujo hacia las hojas. Por ello se puede asumir que la suma de las secciones de todos los capilares en las ramas debe ser similar al de la suma de todas las secciones en el tallo.

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Del calculo del largo de la rama en la k esima bifurcaci n

se tiene que se pueden sumar todos los largos y que esto debiese dar la altura del rbol. Como la suma

\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^{k/3}}

es la suma de una serie geom trica, se obtiene que el tronco a la primera bifurcaci n tiene un largo de

Para algunos n se obtienen asi los valores$n$ | $h_0/h$------|-----------1.5 | 0.1261.8 | 0.1782.0 | 0.2063.0 | 0.3074.0 | 0.370Nota: el n fraccional se debe entender que se da una combinaci n de bifurcaciones. Ejemplo si en el 50% de los casos bifurca con 2 y en 50% con 3 se tendr a un n de 2.5. Para valores menores que 2 se tiene que asumir que existen veces en que no bifurca cuando alcanza el largo (ejemplo 1.5, en 50% no se da la bifurcaci n y en 50% bifurca en 2).

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La continuidad del flujo en las ramas exige que los xylemas recorran desde las ra ces hasta la copa de los arboles. Sin embargo las ramas se van bifurcando y con ello se van distribuyendo los xylemas en las distintas bifurcaciones. Supongamos que

- el rbol se bifurca siempre en un factor $n$, es decir una rama se separa en $n$ ramas mas finas y estas a su ves en cada vez $n$ nuevas ramas, etc..
- en la $k$ ava generaci n el arbol tendra $n^k$ ramas
- en cada tallo ocupado los xylemas ocupan una fracci n \eta de la secci n
- la secci n de xylemas en el tronco ser a $\pi r_0^2\eta$ donde $r_0$ es el radio del tronco y $\eta$ la fracci n de la secci n con xylemas
- la suma de las secciones en la $k$ esima generaci n ser $\pi r_k^2\eta n^k$

Por continuidad se tiene que la secci n total tras la $k$ esima bifurcaci n debe ser igual a la secci n inicial:

\pi r_0^2\eta =\pi r_k^2\eta n^k

por lo que el radio en la $k$ esima bifurcaci n debe ser

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Si se asume que el radio de las ramas tras la k esima bifurcaci n es

y por estabilidad se tiene que los largos de las ramas deben cumplir

se tiene que

donde h_0=c_ar_0^{2/3}es la distancia entre raiz y primera bifurcaci n y r_0 el radio del tronco.

(ID 9611)

Antes de poder analizar la situaci n en el tallo es necesario comprender como se elimina el agua en las hojas y en particular determinar el flujo que se logra. El principal mecanismo para eliminar el agua es la evaporaci n lo que crea zonas de alta humedad relativa en la zona en torno de las estomas.

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Los mecanismos para remover el agua de esta zona y facilitar nueva evaporaci n ocurren por transporte directo (ej. viento) y por difusi n. En este caso se supone que el mecanismo es solo difusi n y se busca determinar el flujo. Para ello se sabe la humedad relativa en la zona de la hoja y en un punto alejado que representa el medio ambiente. Como se puede calcular la presi n de vapor saturada se puede luego estimar las presiones de vapor y la correspondiente concentraci n en ambas zonas. Con ello, la distancia entre ambas zonas y la constante de difusi n se puede calcular la densidad de flujo. El flujo total se puede estimar con dicha densidad de flujo y la superficie total de las hojas. El flujo se puede adem s usar, empleando la secci n de las somatas, la velocidad con que estar a surgiendo el agua de las hojas.

(ID 1616)

La superficie total para evaporar agua se deja estimar multiplicando el n mero de estomas por hoja n por el n mero de hojas N y la secci n s de cada estoma:

(ID 1617)

En 1855, Adolf Fick [1] formul una ecuaci n para el c lculo de la constante de difusión ($D$), que resulta en la densidad de flujo de partículas ($j$) debido a la variación de concentración ($dc_n$) a lo largo de ERROR:10192,0:

[1] " ber Diffusion" (Sobre difusi n), Adolf Fick, Annalen der Physik und Chemie, Volume 170, p ginas 59-86 (1855)

(ID 4820)

La diferencia de concentraci n $c_1$ y $c_2$ en los extremos de la membrana da lugar a la diferencia:

(ID 3882)

La constante de difusión ($D$) se puede calcular a partir de la velocidad media de una partícula ($\bar{v}$) y de el camino libre ($\bar{l}$) de las part culas.

Es importante reconocer que tanto el camino libre como la velocidad media dependen de la temperatura, y por lo tanto, tambi n lo hace la constante de difusi n. Por esta raz n, cuando se publican valores para la llamada constante, siempre se indica la temperatura a la que se refiere.

(ID 3186)

Si uno considera una gota de agua en vez de una superficie plana, las mol culas van a tender a tener menos vecinos por efecto de la cobertura de la superficie. Esto lleva a que les es mas f cil evaporar lo que aumenta la presi n de vapor saturado en las proximidades de una superficie curva tal como en una gota.

Esta situaci n es descrita por la ecuaci n de Kelvin en que se calcula la presi n de vapor saturado p_e en funci n de la presi n de vapor saturada para una superficie plana p_s, la temperatura T y el radio de la gota r mediante

En este caso \sigma es la tensi n superficial, R la constante de los gases y V_m el volumen molar que en el caso del agua es de 22.4 litros.

(ID 9616)

Los orificios en la paren del xylema que permiten que el agua escape al espacio dentro de la hoja y via la estomas al exterior tienen radios del orden de los nano metros. Por ello la presi n del vapor de agua dentro de la hoja y en la proximidades de las estomas esta dado por la ecuaci n de Kelvin:

lo que por un lado facilita la evaporaci n del agua desde la hoja ya que lleva a una relativamente r pida condensaci n.Esto significa que en gotas peque as (\sigma V_m\gg r RT) la humedad relativa puede ser mucho mayor que 100% estando en un estado sobre-saturado altamente inestable.

Como la humedad relativa es igual a

se tiene que si la gota evapora en la media que estima la ecuaci n de Kelvin se tendr a una humedad relativa de

(ID 9617)

Si se reemplaza la presi n saturada

en la ecuaci n de Kelvin

se obtiene la presi n de vapor en torno de la gota de agua

(ID 9618)