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Da die Mechanische Kraft ($F$) geteilt durch die Abschnitt ($S$) gleich die Druck ($p$) ist:

und die Volumenvariation ($\Delta V$) mit der Zurückgelegter Weg ($dx$) gleich ist:

Die Gleichung f r der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$) kann wie folgt ausgedr ckt werden:

Daher kann sie geschrieben werden als:

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Da der Interne Energiedifferenz ($dU$) in Beziehung zu der Differential ungenau Wärme ($\delta Q$) und der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$) steht, wie unten gezeigt:

Und es ist bekannt, dass der Differential ungenaue Arbeits ($\delta W$) in Beziehung zu die Druck ($p$) und die Volumenvariation ($\Delta V$) steht, wie folgt:

Daher k nnen wir schlussfolgern, dass:

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F r einen l ngeren Weg muss die ben tigte Energie f r jedes Wegst ck summiert werden:

$\bar{W}=\displaystyle\sum_i \vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$

Jedoch repr sentiert der Wert dieser Gleichung lediglich einen Durchschnittswert der ben tigten oder erzeugten Energie. Die pr zise Energie wird erreicht, wenn die Schritte sehr klein werden und die Kraft innerhalb von ihnen als konstant betrachtet werden kann:

$W=\displaystyle\sum_i \mbox{lim}_{\Delta\vec{s}_i\rightarrow\vec{0}}\vec{F}_i\cdot\Delta\vec{s}_i$

In diesem Grenzwert entspricht die Energie dem Integral entlang des zur ckgelegten Weges, was uns ergibt:

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