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Modelamiento con Scattering (2D)

Storyboard

ID:(1155, 0)

Compton Scattering

Definición

El scattering de Compton ocurre cuando un fotón interactua con una partícula cargada, en particular con un electrón. En el proceso el fotón pierde energía y se desvía poniendo el electrón en movimiento:

ID:(9176, 0)

Scattering

Imagen

Los scattering que contribuyen (in) o describen el abandono de partículas (out) se pueden graficar de la siguiente forma:

Gráfica Scattering entre dos partículas

Hay que notar que el termino colisión:

- integra sobre todas las velocidades externas a las del volumen

- incluye la probabilidad de que existan ambas velocidades que llevan al scattering simultaneamente

- la velocidad relativa multiplicado por la sección eficaz total representa el flujo de partículas hacia el target

Esto ultimo se puede mostrar en forma simple mediante

\Delta v\sigma\sim\displaystyle\frac{dX}{dt}S\sim \displaystyle\frac{dV}{dt}\sim J

ID:(9177, 0)

Simulador camino aleatorio con scattering de Compton

Nota

Se puede estudiar el modelo de Klein-Nishina en forma numérica. Para ello se muestra

- la sección eficaz total en función de la energía del foton
- la sección diferencial en función del angulo para las energías mínima, media y máxima que se definan
- lo que seria la sección eficaz total en un sistema unidimensional que da según la energía transmisión o reflexión

ID:(9114, 0)

Modelamiento con Scattering (2D)

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Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$\sigma_{KN}=\displaystyle\frac{3}{4}\sigma_T\left(\displaystyle\frac{(1+\epsilon)}{\epsilon^3}\left(\displaystyle\frac{2\epsilon(1+\epsilon)}{1+2\epsilon}-\log(1+2\epsilon)\right)+\displaystyle\frac{\log(1+2\epsilon)}{2\epsilon}-\displaystyle\frac{(1+3\epsilon)}{(1+2\epsilon)^2}\right)$

\sigma_{KN}=\displaystyle\frac{3}{4}\sigma_T\left(\displaystyle\frac{(1+\epsilon)}{\epsilon^3}\left(\displaystyle\frac{2\epsilon(1+\epsilon)}{1+2\epsilon}-\log(1+2\epsilon)\right)+\displaystyle\frac{\log(1+2\epsilon)}{2\epsilon}-\displaystyle\frac{(1+3\epsilon)}{(1+2\epsilon)^2}\right)

$\sigma_T=\displaystyle\frac{8\pi}{3}r_0^2$

\sigma_T=\displaystyle\frac{8\pi}{3}r_0^2

$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$

\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}

$\displaystyle\frac{d\sigma_{KN}}{d\Omega}=\displaystyle\frac{3}{16\pi}\displaystyle\frac{\sigma_T}{(1+\epsilon(1-\cos\theta))^2}\left(\epsilon(1-cos\theta)+\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}-\cos^2\theta\right)$

\displaystyle\frac{d\sigma_{KN}}{d\Omega}=\displaystyle\frac{3}{16\pi}\displaystyle\frac{\sigma_T}{(1+\epsilon(1-\cos\theta))^2}\left(\epsilon(1-cos\theta)+\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}-\cos^2\theta\right)

$\lambda_2=\lambda+\lambda_c(1-\cos\theta)$

lambda_2 = lambda + lambda_c * (1- cos( theta ))

$\lambda_c=\displaystyle\frac{h}{m_ec}$

\lambda_c=\displaystyle\frac{h}{m_ec}

$d\Omega=2\pi \sin\theta d\theta$

d\Omega=2\pi \sin\theta d\theta

Ejemplos

ngulo s lido

El ngulo s lido se define mediante

equation

Compton Scattering

El scattering de Compton ocurre cuando un fot n interactua con una part cula cargada, en particular con un electr n. En el proceso el fot n pierde energ a y se desv a poniendo el electr n en movimiento:

image

Largo de onda de Compton

El largo de onda de Compton se define mediante

equation

donde h es la constante de Planck, m_e la masa del electr n y c la velocidad de la luz.

Scattering

Los scattering que contribuyen (in) o describen el abandono de part culas (out) se pueden graficar de la siguiente forma:

image

Hay que notar que el termino colisi n:

- integra sobre todas las velocidades externas a las del volumen

- incluye la probabilidad de que existan ambas velocidades que llevan al scattering simultaneamente

- la velocidad relativa multiplicado por la secci n eficaz total representa el flujo de part culas hacia el target

Esto ultimo se puede mostrar en forma simple mediante

\Delta v\sigma\sim\displaystyle\frac{dX}{dt}S\sim \displaystyle\frac{dV}{dt}\sim J

Scattering de Compton

El scattering de Compton ocurre cuando un foton interactua con un electr n transfiirendole el primero energ a al segundo (interacci n inel stica). El largo de onda con que emerge del scatering el foton se puede calcular mediante

equation

en donde

equation=9146

es el largo de onda de Compton y \theta el angulo de desv o del foton.

Secci n eficaz diferencial de scattering de Compton

En el caso de scattering de Compton, la secci n eficaz diferencial es seg n Klein-Nishina

equation

donde

equation=9112

es la secci n eficaz de Thomson y el factor

equation=9113

es la energ a normalizada.

Secci n eficaz total de scattering de Compton

Si se toma la secci n eficaz diferencial seg n Klein-Nishina

equation=9144

y se integra en el angulo solido

equation=9147

se obtiene la secci n eficaz total

equation

donde

equation=9112

es la secci n eficaz de Thomson y el factor

equation=9113

es la energ a normalizada.

En el limite de peque os \epsilon\ll 1 se tiene que la secci n total es

\sigma_{KN}\sim\sigma_T\left(1-2\epsilon+\displaystyle\frac{26}{5}\epsilon^2\ldots\right)

y en el limite \epsilon\gg 1 se tiene que la secci n total es

\sigma_{KN}\sim\displaystyle\frac{3}{8}\displaystyle\frac{\sigma_T}{\epsilon}\left(\log(2\epsilon)+\displaystyle\frac{1}{2}\right)

Secci n eficaz total de Thomson

La secci n eficaz total de Thomson es igual a 2/3 de la superficie de una esfera de radio r_0

equation

El radio r_0 corresponde al radio cl sico del electr n que se define como e^2/m_ec^2.

Energ a normalizada

Para simplificar se introduce la energ a inicial del foton E, normalizada por m_ec^2

equation

donde m_e es la masa del electr n y c la velocidad de la luz.

Simulador camino aleatorio con scattering de Compton

Se puede estudiar el modelo de Klein-Nishina en forma num rica. Para ello se muestra

- la secci n eficaz total en funci n de la energ a del foton
- la secci n diferencial en funci n del angulo para las energ as m nima, media y m xima que se definan
- lo que seria la secci n eficaz total en un sistema unidimensional que da seg n la energ a transmisi n o reflexi n

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