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Distribución de distancias recorridas
Ecuación

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El caso mas simple es el de una particular que se desplaza a lo largo de un eje pudiendo impactar algún objeto.

Si la probabilidad de lograr llegar a una distancia entre x y x+dx es p(x), se tendrá que la probabilidad de impactar será igual a la diferencia de propagación:

p(x)-p(x+dx)\sim-\displaystyle\frac{dp}{dx}dx

Si la probabilidad de llegar a x es p(x) y la probabilidad de impactar en el camino dx es proporcional a dx/\lambda, donde \lambda es un largo característico, se tiene que

dp = -\displaystyle\frac{dx}{\lambda} p(x)

que se puede integrar dando

$p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$

donde \lambda es la constante de integración.

La función p(x) muestra como se distribuyen en la distancia x las ubicaciones en donde ocurre el primer impacto si la partícula inicia su camino en el origen (x=0).

Una distribución de esta forma corresponde a una distribución de Poisson.

ID:(9099, 0)


Normalización
Ecuación

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Si se integra la distribución

$p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$



sobre todas las distancias posibles x y asume que \lambda es constante, se obtiene

$\displaystyle\int_0^{\infty}p(x)dx = \displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx=1$

lo que significa que la función esta normalizada. Esto no es de extrañarse dando que la función p(x) corresponde a una distribución de probabilidades.

ID:(9251, 0)


Camino libre en función de la distribución
Ecuación

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Si se estima el camino medio recorrido ponderando el camino x con la densidad de probabilidad p(x) se tiene

\langle x\rangle =\displaystyle\int_0^{\infty}dx,x,p(x)

Con la densidad de probabilidad

$p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$



se obtiene integrando que

$\langle x\rangle=\lambda$

En otras palabras la constante de integración \lambda corresponde al camino medio que recorre la partícula entre dos choques lo que se denomina el camino libre.

ID:(9252, 0)


Camino libre de un fotón
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Si se indica el camino libre en función de la densidad se le puede comparar entre distintos materiales. Al ser una función de la energía del fotón se obtiene que el camino libre en hueso y agua son en el rango 0 a 10MeV muy similares:

Camino libre de fotones en agua y hueso. The EGS4 Code System Report SLAC-265, Nelson W.R. et. al., Stanford Linear Accelerator Center, California, 1985

Si se desea una estimación del camino libre del fotón en agua, que muestra un comportamiento muy similar al de tejido, basta multiplicar el largo en gramos por centímetro cuadrado por la densidad con lo que se obtiene valores entre 0 y 30 cm.

ID:(9256, 0)


Camino libre de varias partículas
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Si se comparan los caminos libres para fotones, neutrones, electrones y protones en agua de observan diferencias en potencias de diez:

Camino libre de partículas en agua (informe ICRU de 1970).

En este caso los valores están indicados en centímetros. Para el rango de hasta 0.01 a 6 MeV los rangos (en cm) son

Partícula | 0.01 MeV | 6 MeV

-------------|:------------:|:----------:

Fotones | 0.198 | 41.7

Neutrones | 0.878 | 0.430

Electrones | 0.00032 | 0.211

Protones | - | 0.033

ID:(9257, 0)


Distribución de probabilidades para el caso de medio inhomogenio
Descripción

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Cuando el medio es inhomogeneo la probabilidad de choque al avanzar en un dx

equation=9099

el factor \lambda pasa a depender de la posición.

ID:(9353, 0)


Bean machine o tablero de Galton
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Una aplicación practica del modelo descrito se encuentra en el llamado tablero de Galton. En ella uno deja caer una volita por un tablero de clavos los que hacen que en cada choque la volita cambie de dirección y finalmente llegue abajo a un arreglo en que se le clasifica:

El arreglo en la parte inferior corresponde a la distribución probabilistica p(x) que corresponde al alto de la columna en x. El numero de volitas que llega a x es igual al ancho de la columna dx por la altura p(x).

ID:(9254, 0)


Estructura del código (1)
Descripción

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La estructura del código de simulación tiene que tener tres unidades básicas:

- la definición de la función distribución (el arreglo que recoge las bolitas en la tabla de Galton)

- el simulador del avance de la partícula que entrega la posición final

- la unidad que determina la clase que debe ser incrementada en la función distribución (la unidad que determina en que contenedor del receptor de bolitas esta es depositada)

Para el primer punto debemos definir un arreglo, que inicialmente se setea en cero, que al final es poblado según la posición alcanzada.

Para el primer paso debemos primero definir el rango en que la bolita pede caer, es decir un valor mínimo x_{min} (xmin) y un valor máximo x_{max} (xmax). Este debe ser subdividido en num (num) intervalos de largo Dx:

\Delta x = \displaystyle\frac{x_{max}-x_{min}}{num}

Si el arreglo lo llamamos p sera primero necesario setear los num elementos en cero (vaciar los elementos de la tabla de Galton)

```

// set distribution to cero

for(i = 0;i < num;i++){

p[i] = 0.0; // set to empty

}

```

Una ves se han seteado en cero debemos estudiar el comportamiento de N bolitas/partículas y determinar su posición final x después de steps pasos (ver página que detalla el cálculo):

```

Position calculation

```

Una vez se ha obtenido la posición x se puede determinar el casillero en que se debe depositar la bolita simplemente restando el valor mínimo y dividiendo por el ancho de cada contenedor:

cls = \displaystyle\frac{x-x_{min}}{\Delta x}

Con este valor se puede localizar el contenedor p[cls] y agregarle una bolita o partícula. El código correspondiente sería:

```

cls = round((x-xmin)/Dx); // find position in array

p[cls]++; // increment array p in posicion cls on one

```

en donde la función round (en javascript Math.round) redondea el valor para obtener un valor cls entero. El cómando p[cls]++ corresponde a incrementar el elemento p[cls] en uno.

ID:(9250, 0)


Estimación de camino
Ecuación

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Para simular el camino recorrido debemos poder generar en forma aleatoria los caminos libres basados en la distribución

$p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$



Para ello basta calcular la probabilidad de lograr un camino x

P(x)=\displaystyle\int_0^x\displaystyle\frac{du}{\lambda}e^{-u/\lambda}=1-e^{-x/\lambda}

y despejar el camino x

$x=-\lambda\ln(1-P)$

se obtiene una ecuación que si generamos al azar un numero entre 0 y 1 obtendremos un camino x generado con la distribución de Poisson.

Con ello se puede definir una función:

```

function exprob(len){

var ran = Math.random();

if(ran > 0){

return -len*Math.log(1-ran);

} else {

return len;

}

}

```

en que se considero la generación de un numero entre 0 y 1 al azar y se considero la posibilidad de que el valor sea cero lo que generaría problemas ya que el logaritmo sería menos infinito.

ID:(9255, 0)


Estructura del código (2)
Descripción

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Para calcular las posiciones finales se debe:

- iterar sobre múltiples partículas (N)

- para cada partícula estimar los caminos recorridos

- ir sumando los caminos alternando las direcciones de propagación

En este caso se asume que en cada choque la partícula cambia de dirección de propagación. En su inicio siempre comienza viajando incrementando la distancia lo que se define como la dirección positiva (dir = 1). En cada choque el signo de dir es invertido (dir = -dir o sea si dir=1 este se vuelve dir=-1).

Para el largo del paso se invoca la función de generación de largos antes definida (exprob) que se pondera con la direccón para obtener con la posición anterior la nueva posición.

```

// particles (n de N)

for(n = 0;n < N;n++){

x = 0; // initial position

dir = 1; // initial direction

for(i = 0;i < sp;i++){

x = x + dir*exprob(len); // new position

dir = -dir; // change direction

}

// finish position calculation

// clasification of end position x in distribution p

}

```

ID:(9258, 0)


Simulador camino aleatorio paso variable
Php

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Para obtener la distribución de las partículas en función de la posición se puede realizar una iteración en que

> 0. se define una posición y dirección inicial
> 1. se generado al azar un largo de paso
> 2. se define al azar si se invierte la dirección
> 3. se desplaza según el paso definido en 1 y 2
> 3. se continua en 1

Si se supone que esperamos un tiempo definido y que la partícula se desplaza a velocidad constante, se puede determinar la posición que tiene tras un tiempo dado o tras un camino total definido.

Para comprender como este tipo de simulación depende de los parámetros se propone variar:

> i) la resolución (ancho de la clase con que se estima la distribución)

> ii) numero de iteraciones

ID:(9100, 0)


Conclusiones
Descripción

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Jugando con el simulador notamos que

> 1. Solo tiene sentido considerar distribuciones de posiciones posibles

> 2. La distribución se basa en determinar posiciones en rangos discretos

> 3. Rangos de menor tamaño requieren de un mayor numero de iteraciones

ID:(9101, 0)