Storyboard

El método de celdas de Boltzmann (Lattice Boltzmann Method - LBM) fue creado para reducir el tiempo de procesamiento en la solución de problemas hidro y aerodinámicos. En vez de resolver la ecuación diferencial de Navier Stokes, usa una representación equivalente basada en la ecuación de transporte de Boltzmann y reduce el esfuerzo de procesamiento trabajando con un espacio de fase discreto simplificado. El resultado es un simulador de alta velocidad capaz de describir procesos de alta complejidad.

>Modelo

ID:(1162, 0)

Ecuación

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La funci n de Boltzmann describe el transporte de un sistema de part culas descrito por la funci n de distribuci n de velocidades:

donde el termino C describe la interacci n (colisiones) entre estas.

ID:(8462, 0)

Ecuación

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Si los par metros se calculan con\\n\\n

$\chi = m c(\vec{x},t)$

y se promedia sobre la velocidad mediante

se obtiene mediante la masa la estimaci n de la densidad mediante:

ID:(8458, 0)

Ecuación

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Si los par metros se calculan con\\n\\n

$\chi_k = v_k$

promediando sobre la velocidad mediante

\\n\\ny con\\n\\n

$c(\vec{x},t)=\displaystyle\frac{1}{m}\rho(\vec{x},t)$

la velocidad del flujo se calcula integrando la funci n distribuci n de velocidad sobre todas las velocidades ponderando sobre las velocidades:

ID:(8459, 0)

Ecuación

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Con el teorema de equipartici n en que\\n\\n

$\displaystyle\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}=\displaystyle\frac{3}{2}k_B T$

\\n\\ncon el par metro se calculan con\\n\\n

$\chi = T = \displaystyle\frac{m\vec{v}\cdot\vec{v}}{3k_B}=\displaystyle\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{3R}\displaystyle\frac{c(\vec{x},t)}{\rho(\vec{x},t)}$

y se promedia promediando sobre la velocidad mediante

y se considera el teorema de equipartici n, la temperatura se podr estimar integrando la energ a cin tica ponderada por la distribuci n de velocidad dividida por la constante de los gases:

ID:(8460, 0)

Ecuación

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Si los par metros se calculan con\\n\\n

$\chi = m c(\vec{x},t)(v_i-u_i)(v_j-u_j)$

y se promedia sobre la velocidad mediante

el tensor del flujo se calcula integrando la funci n distribuci n de velocidad sobre todas las velocidades ponderando sobre las diferencias de velocidades:

ID:(8461, 0)

Descripción

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La problem tica con sistemas en escala macro que se basan en fen menos microsc picos es que

- los modelos macrosc picos son demasiado simples para reflejar correctamente la din mica

- los modelos microsc picos para describir la realidad macrosc pica no se pueden resolver anal tica y las soluciones num ricas son engorrosas (= exigen muchos recursos computacionales)

El m todo de celdas de Boltzmann busca un camino intermedio. Se basa en la ecuaci n de transporte de Boltzmann, rescata de la parte microsc pica v a el termino de colisiones e implementa una estructura simplificada para calcular los resultados macrosc picos. Hablamos de un enfoque mesoscopico en que podemos, seg n se requiera, reducir el esfuerzo microsc pico perdiendo precisi n pero ahorrando recursos o mejorando la precisi n invirtiendo mas recursos.

ID:(8488, 0)

Imagen

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El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n

$\vec{e}_0=(0,0)$

\\n\\nen las esquinas\\n\\n

$\vec{e}_1=(1,0)$

(E),\\n

$\vec{e}_2=(0,1)$

(N), \\n

$\vec{e}_3=(-1,0)$

(W) y \\n

$\vec{e}_4=(0,-1)$

(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n

$\vec{e}_5=(1,1)$

(NE), \\n

$\vec{e}_6=(-1,1)$

(SE), \\n

$\vec{e}_7=(-1,-1)$

(SW) y \\n

$\vec{e}_8=(1,-1)$

(NW)

lo que se representa en la siguiente gr fica:

ID:(8496, 0)

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El modelo D3Q15 es un modelo bidimensional (D3) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\n

$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) y (0,0,-1)$

\\n\\ny en las esquinas del cubo\\n\\n

$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$

lo que se representa en la siguiente gr fica:

Es facil que se pueden construir modelos del tipo D3Q19 (incluyendo las mitades de las aristas laterales) o D3Q27 (todos los puntos posibles).

ID:(8497, 0)

Ecuación

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En el caso de la discretizaci n en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente i mediante:

en donde w_i es el peso relativo.

ID:(8466, 0)

Ecuación

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En el proceso de streaming se desplazan las part culas seg n sus direcciones de velocidades a las celdas vecinas

donde \vec{x} es la posici n, t el tiempo, \delta t el incremento en el tiempo, \vec{e}_i la direcci n de la grilla y c la velocidad.

ID:(9150, 0)

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Si el choque no ocurre en el punto de la red si no que a una distancia \Delta:

\\n\\nentonces la funci n debe considerar el desfase ponderando las contribuciones\\n\\n

$f_i(x_f,t+\delta t)=\displaystyle\frac{(1-\Delta)f_{-i}(x_f,t)+\Delta(f_{-i}(x_b,t)+f_{-i}(x_{f2},t)}{1+\Delta}$

ID:(8499, 0)

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Si la pared muestra una inclinaci n respecto de la red debe ser modelada en una forma mas compleja:

Borde mas general

Primero debe ser definida una frontera aproximada que permita establecer las ecuaciones de borde necesarias. Luego deben ser aplicadas en el proceso de steraming.

ID:(8500, 0)

Descripción

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En el caso de un sistema D2Q9 se tienen los 9 valores f_i que hemos acotado como O, N, E, S, W, NE, SE, SW, NW. Si el numero de part culas en la posici n (n,m) se denota como f_i(j.k) se tiene que las ecuaciones son

```

N[x,y] = N[x,y-1]

NW[x,y] = NW[x+1,y-1]

E[x,y] = E[x-1,y]

NE[x,y] = NE[x-1,y-1]

S[x,y] = S[x,y+1]

SE[x,y] = SE[x-1,y+1]

W[x,y] = W[x+1,y]

SW[x,y] = SW[x+1,y+1]

```

ID:(9151, 0)

Ecuación

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En la aproximaci n de relajaci n se supone que la distribuci n f_i(\vec{x},t) tiende a relajarse en un tiempo \tau a una distribuci n en equilibrio f_i^{eq}(\vec{x},t) seg n la ecuaci n\\n\\n

$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$

que tiene en la aproximaci n discreta la ecuaci n

donde el termino de las diferencias en las funciones distribuci n representa las colisiones.

ID:(8489, 0)

Descripción

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En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores

\\n\\npor lo que se tiene para cada celda\\n\\n

$O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)$

\\n

$E = E+w(rho/9)(1+u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)$

\\n

$W = W+w(rho/9)(1-u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)$

\\n

$N = N+w(rho/9)(1+u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)$

\\n

$S = S+w(rho/9)(1-u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)$

\\n

$NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-NE)$

\\n

$SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-SE)$

\\n

$NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-NW)$

\\n

$SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-SW)$

\\n\\ncon\\n\\n

$u2 = u_x^2+u_y^2$

ID:(9155, 0)

Ecuación

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La distribuci n en equilibrio se puede aproximar por una distribuci n de Maxwell Boltzmann

en donde m es la masa de la part cula, T la temperatura del sistema y k la constante de Boltzmann.

ID:(8490, 0)

Ecuación

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En la aproximaci n Bhatnagar-Gross-Krook la distribuci n en equilibrio se asume como la de un gas de part culas sin interacci n

con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresi n en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

con \omega_i los pesos dados por

que se determinan asegurando que la distribuci n equilibrio cumpla las leyes de conservaci n.

ID:(9084, 0)

Descripción

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En el caso de part culas de un liquido el m todo LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:

(html file)

ID:(9156, 0)