Revisión del Método Monte Carlo (MCM)
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Aun que el método Monte Carlo (MCM) es visto como la panacea en el calculo de dosis, su aplicación esta limitada por el esfuerzo computacional, Este esta ligada al gran numero de partículas que se deben simular para lograr reducir la incerteza numérica inherente a la complejidad del sistema. En esta revisión se describe el método y se revisa la problemática de la incerteza numérica.
ID:(1161, 0)
Camino aleatorio
Imagen
Para explorar las propiedades de Monte Carlo supongamos que queremos simular el comportamiento de un borrachito.
Este se desplaza unidimensionalmente pudiendo dar pasos tanto a la derecha como a la izquierda.
Las distancias recorrida en cada dirección dependen de los objetos en el camino. Estos se encuentran distribuidos en forma aleatoria.
Cada vez que llega a un objeto invierte la dirección en que se desplaza.
ID:(9175, 0)
Distribución de distancias recorridas
Ecuación
El caso mas simple es el de una particular que se desplaza a lo largo de un eje pudiendo impactar algún objeto.
Si la probabilidad de lograr llegar a una distancia entre
Si la probabilidad de llegar a
que se puede integrar dando
$p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$ |
donde
La función
Una distribución de esta forma corresponde a una distribución de Poisson.
ID:(9099, 0)
Simulador camino aleatorio paso variable
Php
Para obtener la distribución de las partículas en función de la posición se puede realizar una iteración en que
> 0. se define una posición y dirección inicial
> 1. se generado al azar un largo de paso
> 2. se define al azar si se invierte la dirección
> 3. se desplaza según el paso definido en 1 y 2
> 3. se continua en 1
Si se supone que esperamos un tiempo definido y que la partícula se desplaza a velocidad constante, se puede determinar la posición que tiene tras un tiempo dado o tras un camino total definido.
Para comprender como este tipo de simulación depende de los parámetros se propone variar:
> i) la resolución (ancho de la clase con que se estima la distribución)
> ii) numero de iteraciones
ID:(9100, 0)
Conclusiones
Descripción
Jugando con el simulador notamos que
> 1. Solo tiene sentido considerar distribuciones de posiciones posibles
> 2. La distribución se basa en determinar posiciones en rangos discretos
> 3. Rangos de menor tamaño requieren de un mayor numero de iteraciones
ID:(9101, 0)
Sección eficaz total y camino libre
Ecuación
La sección efectiva total
ID:(9178, 0)
Compton Scattering
Imagen
El scattering de Compton ocurre cuando un fotón interactua con una partícula cargada, en particular con un electrón. En el proceso el fotón pierde energía y se desvía poniendo el electrón en movimiento:
ID:(9176, 0)
Scattering de Compton
Ecuación
El scattering de Compton ocurre cuando un foton interactua con un electrón transfiirendole el primero energía al segundo (interacción inelástica). El largo de onda con que emerge del scatering el foton se puede calcular mediante
$\lambda_2=\lambda+\lambda_c(1-\cos\theta)$ |
en donde
$\lambda_c=\displaystyle\frac{h}{m_ec}$ |
es el largo de onda de Compton y
ID:(9145, 0)
Sección eficaz diferencial de scattering de Compton
Ecuación
En el caso de scattering de Compton, la sección eficaz diferencial es según Klein-Nishina
$\displaystyle\frac{d\sigma_{KN}}{d\Omega}=\displaystyle\frac{3}{16\pi}\displaystyle\frac{\sigma_T}{(1+\epsilon(1-\cos\theta))^2}\left(\epsilon(1-cos\theta)+\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}-\cos^2\theta\right)$ |
donde
$\sigma_T=\displaystyle\frac{8\pi}{3}r_0^2$ |
es la sección eficaz de Thomson y el factor
$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$ |
es la energía normalizada.
ID:(9144, 0)
Sección eficaz total de scattering de Compton
Ecuación
Si se toma la sección eficaz diferencial según Klein-Nishina
$\displaystyle\frac{d\sigma_{KN}}{d\Omega}=\displaystyle\frac{3}{16\pi}\displaystyle\frac{\sigma_T}{(1+\epsilon(1-\cos\theta))^2}\left(\epsilon(1-cos\theta)+\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}-\cos^2\theta\right)$ |
y se integra en el angulo solido
$d\Omega=2\pi \sin\theta d\theta$ |
se obtiene la sección eficaz total
$\sigma_{KN}=\displaystyle\frac{3}{4}\sigma_T\left(\displaystyle\frac{(1+\epsilon)}{\epsilon^3}\left(\displaystyle\frac{2\epsilon(1+\epsilon)}{1+2\epsilon}-\log(1+2\epsilon)\right)+\displaystyle\frac{\log(1+2\epsilon)}{2\epsilon}-\displaystyle\frac{(1+3\epsilon)}{(1+2\epsilon)^2}\right)$ |
donde
$\sigma_T=\displaystyle\frac{8\pi}{3}r_0^2$ |
es la sección eficaz de Thomson y el factor
$\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$ |
es la energía normalizada.
En el limite de pequeños
y en el limite
ID:(9111, 0)
Simulador camino aleatorio con scattering de Compton
Php
Se puede estudiar el modelo de Klein-Nishina en forma numérica. Para ello se muestra
- la sección eficaz total en función de la energía del foton
- la sección diferencial en función del angulo para las energías mínima, media y máxima que se definan
- lo que seria la sección eficaz total en un sistema unidimensional que da según la energía transmisión o reflexión
ID:(9114, 0)