Recta

Storyboard

>Modelo

ID:(614, 0)

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Línea Recta

Ecuación

>Top, >Modelo

Para ajustar datos (x_i,y_i) a una recta del tipo

y=ax+b

se debe calcular los valores a y b tal que la diferencia de los cuadrados

$\sum_i (y_i-ax_i-b)^2 = min$

sea un mínimo.

ID:(6890, 0)

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Pendiente

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se deriva

$\sum_i (y_i-ax_i-b)^2 = min$

respecto de a y se iguala a cero el resultado se obtiene la ecuación:

S_{xy}+aS_{x2}+bS_x=0

donde

S_x=\sum_ix_i$, $S_{x2}=\sum_ix_i^2$ y $S_{xy}=\sum_ix_iy_i

Si se repite la operación para b se obtiene la ecuación:

bN-S_y+aS_x=0

con S_y=\sum_iy_i.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente es

$a=\displaystyle\frac{NS_{xy}-S_xS_y}{NS_{xx}-S_x^2}$

ID:(6891, 0)

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Constante

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se deriva

$\sum_i (y_i-ax_i-b)^2 = min$

respecto de a y se iguala a cero el resultado se obtiene la ecuación:

S_{xy}+aS_{x2}+bS_x=0

donde

S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m

en que en el caso que n o m sean cero no se escribe el factor x o y y en el caso de la unidad no se incluye el número.

Si se repite la operación para b se obtiene la ecuación:

bN-S_y+aS_x=0

La solución de las ecuaciones lleva a que la constante b es

$ b =\displaystyle\frac{ S_{x2} S_y - S_x S_{xy}}{ N S_{x2} - S_x ^2}$

ID:(6892, 0)

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Desviación

Ecuación

>Top, >Modelo

La regresión se calcula en función de que

$\sum_i (y_i-ax_i-b)^2 = min$

sea un mínimo. Si se desarrolla el cuadrado y se divide la raíz de este valor por el valor medio se obtienen una medida de la desviación media de la regresión:

$ \epsilon =\displaystyle\frac{(( N S_{x2} - S_x ^2) S_{y2} - S_{x2} S_y ^2+2 S_x S_{xy} S_y - N S_{xy} ^2}{ N ( N S_{x2} - S_x ^2)}$

ID:(9441, 0)

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Simulador

Html

>Top

El demo adjunto permite realizar una ajuste por mínimos cuadrados de una recta.

ID:(8081, 0)

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